Номер 3.10, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.10, страница 99.

3.10 Какие точки принадлежат всем графикам функций $y = x^n$ при:

а) любых натуральных $n$;

б) любых чётных $n$;

в) любых нечётных $n$?

а)

Чтобы найти точки, принадлежащие всем графикам функций вида $y = x^n$ при любом натуральном $n$ ($n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$), необходимо найти такие пары координат $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению для всех значений $n$.

Если точка принадлежит всем графикам, то ее координаты должны удовлетворять, в частности, уравнениям для $n=1$ и $n=2$:

$y = x^1 = x$

$y = x^2$

Приравнивая выражения для $y$, получаем уравнение относительно $x$:

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

1. При $x = 0$, используя уравнение $y=x$, находим $y = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
Проверим, принадлежит ли эта точка графику $y = x^n$ для любого натурального $n$. Подставим ее координаты в уравнение: $0 = 0^n$. Это равенство верно для любого натурального $n \ge 1$. Значит, точка $(0, 0)$ является общей для всех этих графиков.

2. При $x = 1$, используя уравнение $y=x$, находим $y = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.
Проверим, принадлежит ли эта точка графику $y = x^n$ для любого натурального $n$. Подставим ее координаты: $1 = 1^n$. Это равенство верно для любого натурального $n$. Значит, точка $(1, 1)$ также является общей для всех этих графиков.

Других значений $x$, которые могли бы дать общие точки, нет.

Ответ: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

б)

Теперь ищем точки, принадлежащие всем графикам функций $y = x^n$ при любом чётном натуральном $n$ ($n \in \{2, 4, 6, \ldots\}$).

Координаты точки должны удовлетворять, в частности, уравнениям для $n=2$ и $n=4$:

$y = x^2$

$y = x^4$

Приравнивая выражения для $y$, получаем:

$x^2 = x^4$

$x^4 - x^2 = 0$

$x^2(x^2 - 1) = 0$

$x^2(x - 1)(x + 1) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

1. При $x = 0$, из $y = x^2$ получаем $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
Проверка: $0 = 0^n$ верно для любого чётного $n$. Точка $(0, 0)$ подходит.

2. При $x = 1$, из $y = x^2$ получаем $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
Проверка: $1 = 1^n$ верно для любого чётного $n$. Точка $(1, 1)$ подходит.

3. При $x = -1$, из $y = x^2$ получаем $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
Проверка: $1 = (-1)^n$. Так как $n$ — чётное число, $(-1)$ в чётной степени всегда равно $1$. Равенство верно. Точка $(-1, 1)$ подходит.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

в)

Ищем точки, принадлежащие всем графикам функций $y = x^n$ при любом нечётном натуральном $n$ ($n \in \{1, 3, 5, \ldots\}$).

Координаты точки должны удовлетворять, в частности, уравнениям для $n=1$ и $n=3$:

$y = x^1 = x$

$y = x^3$

Приравнивая выражения для $y$, получаем:

$x = x^3$

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

1. При $x = 0$, из $y = x$ получаем $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
Проверка: $0 = 0^n$ верно для любого нечётного $n$. Точка $(0, 0)$ подходит.

2. При $x = 1$, из $y = x$ получаем $y = 1$. Точка $(1, 1)$.
Проверка: $1 = 1^n$ верно для любого нечётного $n$. Точка $(1, 1)$ подходит.

3. При $x = -1$, из $y = x$ получаем $y = -1$. Точка $(-1, -1)$.
Проверка: $-1 = (-1)^n$. Так как $n$ — нечётное число, $(-1)$ в нечётной степени всегда равно $-1$. Равенство верно. Точка $(-1, -1)$ подходит.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.