Номер 3.15, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.15, страница 100.

3.15 На каком промежутке убывает функция:

а) $y = x^2$;

б) $y = x^4$;

в) $y = x^8$?

Для определения промежутка, на котором функция убывает, необходимо найти ее производную и определить, на каком промежутке эта производная является неположительной (то есть $y' \le 0$). Все три заданные функции относятся к классу степенных функций с четным натуральным показателем $y = x^{2n}$, где $n \in \mathbb{N}$.

а) $y = x^2$

1. Находим производную функции:
$y' = (x^2)' = 2x$.
2. Решаем неравенство $y' \le 0$, чтобы найти промежуток убывания:
$2x \le 0$
$x \le 0$
Это соответствует промежутку $(-\infty, 0]$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

б) $y = x^4$

1. Находим производную функции:
$y' = (x^4)' = 4x^3$.
2. Решаем неравенство $y' \le 0$:
$4x^3 \le 0$
$x^3 \le 0$
Поскольку показатель степени (3) нечетный, знак выражения $x^3$ совпадает со знаком $x$. Таким образом, неравенство равносильно $x \le 0$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

в) $y = x^8$

1. Находим производную функции:
$y' = (x^8)' = 8x^7$.
2. Решаем неравенство $y' \le 0$:
$8x^7 \le 0$
$x^7 \le 0$
Поскольку показатель степени (7) нечетный, знак выражения $x^7$ совпадает со знаком $x$. Таким образом, неравенство равносильно $x \le 0$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.