Номер 3.13, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.2. Функция y=x^n - номер 3.13, страница 99.

Условие.

3.13 Относительно чего симметричен график функции $y = x^n$ при:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 5$;

г) $n = 6$;

д) $n$ чётном;

е) $n$ нечётном?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для определения симметрии графика функции $y = x^n$ необходимо исследовать ее на четность и нечетность. Свойство четности зависит от показателя степени $n$.

• Если функция четная, то есть $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Если функция нечетная, то есть $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, ее график симметричен относительно начала координат.

Проанализируем функцию $f(x) = x^n$ в каждом из случаев.

а) $n = 3$

Функция имеет вид $y = x^3$. Показатель степени $n=3$ является нечетным числом. Проверим свойство функции: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: относительно начала координат.

б) $n = 4$

Функция имеет вид $y = x^4$. Показатель степени $n=4$ является четным числом. Проверим свойство функции: $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: относительно оси ординат.

в) $n = 5$

Функция имеет вид $y = x^5$. Показатель степени $n=5$ является нечетным числом. Проверим свойство функции: $f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: относительно начала координат.

г) $n = 6$

Функция имеет вид $y = x^6$. Показатель степени $n=6$ является четным числом. Проверим свойство функции: $f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: относительно оси ординат.

д) $n$ чётном

Если показатель степени $n$ является чётным числом, то для функции $f(x) = x^n$ выполняется следующее: $f(-x) = (-x)^n = (-1)^n \cdot x^n$. Поскольку $n$ — чётное число, $(-1)^n = 1$. Таким образом, $f(-x) = 1 \cdot x^n = x^n = f(x)$. Функция является четной, и ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: относительно оси ординат.

е) $n$ нечётном

Если показатель степени $n$ является нечётным числом, то для функции $f(x) = x^n$ выполняется следующее: $f(-x) = (-x)^n = (-1)^n \cdot x^n$. Поскольку $n$ — нечётное число, $(-1)^n = -1$. Таким образом, $f(-x) = -1 \cdot x^n = -x^n = -f(x)$. Функция является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: относительно начала координат.