Номер 3.8, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.2. Функция y=x^n - номер 3.8, страница 99.

Условие.

3.8°

a) Какова область определения функции $y = x^n$?

б) Сформулируйте свойства функции $y = x^n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Какова область определения функции $y = x^n$?

Область определения степенной функции $y = x^n$ существенно зависит от показателя степени $n$. Рассмотрим различные случаи для $n$.

1. Если $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n = 1, 2, 3, ...$)
Выражение $x^n$ (умножение $x$ на себя $n$ раз) определено для любого действительного числа $x$.
Пример: для $y = x^2$ или $y = x^3$, $x$ может быть любым числом.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Если $n = 0$
Функция имеет вид $y = x^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Выражение $0^0$ не определено.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

3. Если $n$ — целое отрицательное число ($n \in \mathbb{Z}, n < 0$)
Пусть $n = -m$, где $m$ — натуральное число. Тогда функция принимает вид $y = x^{-m} = \frac{1}{x^m}$. Это выражение определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x^m \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Пример: для $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$, $x$ не может быть равен 0.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

4. Если $n$ — рациональное число, не являющееся целым ($n = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, q \ge 2$)
Функцию можно записать как $y = \sqrt[q]{x^p}$. Область определения зависит от четности знаменателя $q$.

• Если $q$ — нечетное число, корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа. Область определения зависит от знака $p$:
  • Если $p > 0$, то $x^p$ определено для всех $x$. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.
  • Если $p < 0$, то $x^p = 1/x^{|p|}$, что требует $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Если $q$ — четное число, корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Поэтому требуется $x^p \ge 0$.
  • В школьном курсе и для избежания неоднозначностей для степенной функции с дробным показателем принято считать основание $x$ неотрицательным ($x \ge 0$). При таком соглашении:
    • Если $n > 0$, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
    • Если $n < 0$, то $x \neq 0$, поэтому область определения $D(y) = (0; +\infty)$.

5. Если $n$ — иррациональное число (например, $n = \sqrt{2}, n = \pi$)
В этом случае функция определяется через показательную и логарифмическую функции: $x^n = e^{n \ln x}$. Выражение $\ln x$ определено только для $x > 0$.
Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции $y=x^n$ зависит от показателя $n$:
- если $n$ — натуральное число, то $D(y) = \mathbb{R}$;
- если $n$ — целое отрицательное число или ноль, то $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$;
- если $n$ — дробное или иррациональное число, то по стандартному соглашению для $n > 0$ область определения $D(y) = [0, +\infty)$, а для $n < 0$ — $D(y) = (0, +\infty)$. В более общем случае для $n = p/q$ с нечетным $q$ область определения может быть шире.

б) Сформулируйте свойства функции $y = x^n$.

Свойства степенной функции, как и область определения, зависят от показателя степени $n$. Рассмотрим основные случаи.

Случай 1: $n$ — четное натуральное число ($n = 2, 4, 6, ...$)

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Четность: функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^{2k} = x^{2k} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Случай 2: $n$ — нечетное натуральное число ($n = 1, 3, 5, ...$)

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^{2k-1} = -x^{2k-1} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Монотонность: функция возрастает на всей области определения.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Случай 3: $n$ — целое отрицательное число ($n = -1, -2, -3, ...$)

Общие свойства: Область определения $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Нулей у функции нет. Есть вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
- Если $n$ — отрицательное четное ($n = -2, -4, ...$):
- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
- Функция четная. График симметричен относительно оси Oy.
- Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.
- Если $n$ — отрицательное нечетное ($n = -1, -3, ...$):
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.
- Убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Случай 4: $n$ — вещественное число, не являющееся целым (дробное или иррациональное)

В этом случае, как правило, рассматривают функцию на промежутке $x \ge 0$ или $x > 0$.
- Если $n > 0$ (например, $y=\sqrt{x}$, $y=x^{3/2}$):
- Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Функция возрастает на всей области определения.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
- Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме частных случаев, выходящих за рамки соглашения).
- Если $n < 0$ (например, $y=x^{-1/2}$, $y=x^{-\pi}$):
- Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
- Функция убывает на всей области определения.
- Нулей у функции нет.
- Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная $y=0$ (ось Ox).

Ответ: Свойства функции $y=x^n$ зависят от показателя $n$. Для натуральных $n$ функция определена на $\mathbb{R}$; она четная и имеет минимум в нуле при четном $n$; нечетная и возрастающая при нечетном $n$. Для целых отрицательных $n$ функция не определена в $x=0$ и имеет асимптоты $x=0, y=0$. Для нецелых вещественных $n$, рассматриваемых при $x>0$ (или $x \ge 0$), функция возрастает при $n>0$ и убывает при $n<0$.