Номер 3.14, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.14, страница 100.

3.14 На каком промежутке возрастает функция:

а) $y = x$;

б) $y = x^3$;

в) $y = x^5$;

г) $y = x^2$;

д) $y = x^4$;

е) $y = x^6$?

Для определения промежутков возрастания функции необходимо найти ее производную. Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная неотрицательна ($y' \ge 0$), причем равенство нулю достигается лишь в отдельных точках.

Общая формула производной для степенной функции $y = x^n$ имеет вид $y' = nx^{n-1}$.

а) $y = x$

Это степенная функция с показателем $n=1$.

Найдем производную: $y' = (x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$.

Производная $y' = 1$ положительна для всех значений $x$. Следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = x^3$

Это степенная функция с нечетным показателем $n=3$.

Найдем производную: $y' = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $3x^2 \ge 0$.

Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Производная равна нулю только в одной точке $x=0$. Таким образом, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = x^5$

Это степенная функция с нечетным показателем $n=5$.

Найдем производную: $y' = (x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $5x^4 \ge 0$.

Это неравенство справедливо для всех действительных чисел $x$, так как $x^4$ всегда неотрицательно. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = x^2$

Это степенная функция с четным показателем $n=2$.

Найдем производную: $y' = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $2x \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

Следовательно, функция возрастает при $x \ge 0$. График функции — парабола, убывающая при $x<0$ и возрастающая при $x>0$. Точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

д) $y = x^4$

Это степенная функция с четным показателем $n=4$.

Найдем производную: $y' = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $4x^3 \ge 0$, что равносильно $x^3 \ge 0$, откуда получаем $x \ge 0$.

Следовательно, функция возрастает на промежутке, где $x \ge 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

е) $y = x^6$

Это степенная функция с четным показателем $n=6$.

Найдем производную: $y' = (x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $6x^5 \ge 0$, что равносильно $x^5 \ge 0$, откуда получаем $x \ge 0$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке, где $x \ge 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.