Номер 3.9, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.9, страница 99.

3.9° Для каких натуральных значений $n$ функция $y = x^n$:

а) чётная;

б) нечётная?

а)
Функция $y(x) = x^n$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.
Область определения степенной функции $y = x^n$ с натуральным показателем $n$ — это множество всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$, которое симметрично относительно нуля.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$y(-x) = (-x)^n$
Для того чтобы функция была чётной, должно выполняться равенство:
$(-x)^n = x^n$
Используя свойство степени, преобразуем левую часть: $(-x)^n = (-1 \cdot x)^n = (-1)^n \cdot x^n$.
Тогда равенство принимает вид:
$(-1)^n \cdot x^n = x^n$
Это равенство справедливо для всех $x$ только в том случае, если множитель $(-1)^n$ равен $1$.
$(-1)^n = 1$
Это условие выполняется, когда показатель степени $n$ является чётным числом.
Следовательно, функция $y = x^n$ является чётной для всех чётных натуральных значений $n$.
Ответ: $n$ — любое чётное натуральное число (например, $n = 2, 4, 6, \dots$).

б)
Функция $y(x) = x^n$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
Как и в предыдущем пункте, область определения симметрична относительно нуля.
Мы уже нашли, что $y(-x) = (-x)^n = (-1)^n \cdot x^n$.
Для того чтобы функция была нечётной, должно выполняться равенство:
$(-x)^n = -x^n$
Подставляя преобразованное выражение, получаем:
$(-1)^n \cdot x^n = -x^n$
Это равенство справедливо для всех $x$ только в том случае, если множитель $(-1)^n$ равен $-1$.
$(-1)^n = -1$
Это условие выполняется, когда показатель степени $n$ является нечётным числом.
Следовательно, функция $y = x^n$ является нечётной для всех нечётных натуральных значений $n$.
Ответ: $n$ — любое нечётное натуральное число (например, $n = 1, 3, 5, \dots$).