Номер 3.7, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.1. Понятие функции и ее графика. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.7, страница 96.

3.7* a) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$;

б) $y = \frac{|x - 1|}{x - 1}$;

в) $y = x^2 - 6 |x| + 8$;

г) $y = |x^2 - 6 |x| + 8|$;

д) $y = ||x| - 2|$;

е) $y = \left|\frac{x - 1}{x + 1}\right|$.

а)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Далее, упростим выражение функции. Числитель $x^2 - 4$ является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Подставим это в исходную функцию: $y = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$.

Поскольку $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x-2)$. В результате получаем $y = x+2$.

Это уравнение прямой. Таким образом, график исходной функции представляет собой прямую линию $y = x+2$, из которой исключена точка с абсциссой $x=2$. Найдем ординату этой точки, подставив $x=2$ в упрощенное уравнение: $y = 2 + 2 = 4$.

Ответ: График функции — это прямая $y = x+2$ с выколотой точкой $(2; 4)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{|x - 1|}{x - 1}$.

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$, то по определению модуля $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $y = \frac{x-1}{x-1} = 1$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то по определению модуля $|x-1| = -(x-1)$. Функция принимает вид: $y = \frac{-(x-1)}{x-1} = -1$.

Итак, функция является кусочно-постоянной:

$ y = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 1 \\ -1, & \text{если } x < 1 \end{cases} $

График этой функции состоит из двух открытых лучей: горизонтального луча $y=1$ для всех $x > 1$ и горизонтального луча $y=-1$ для всех $x < 1$. В точке $x=1$ функция не определена.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луч $y=1$ при $x \in (1; +\infty)$ и луч $y=-1$ при $x \in (-\infty; 1)$.

в)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 6|x| + 8$.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Поэтому функцию можно записать как $y = |x|^2 - 6|x| + 8$. Так как в уравнение входит только $|x|$, функция является четной ($y(-x) = y(x)$), и ее график симметричен относительно оси OY.

Построим сначала часть графика для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция имеет вид $y = x^2 - 6x + 8$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем ее ключевые точки. Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. Ордината вершины: $y_0 = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Координаты вершины: $(3; -1)$.

Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 6(0) + 8 = 8$. Точка $(0; 8)$.
С осью OX (при $y=0$): $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = 4$. Обе точки лежат в рассматриваемой области $x \ge 0$. Точки пересечения: $(2; 0)$ и $(4; 0)$.

Теперь построим вторую часть графика для $x < 0$, отразив уже построенную часть симметрично относительно оси OY. Вершина $(3; -1)$ отразится в точку $(-3; -1)$. Точки пересечения с осью OX $(2; 0)$ и $(4; 0)$ отразятся в точки $(-2; 0)$ и $(-4; 0)$. Точка на оси OY $(0; 8)$ останется на месте.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он состоит из двух частей парабол: $y=x^2-6x+8$ для $x \ge 0$ и $y=x^2+6x+8$ для $x < 0$. Вершины парабол находятся в точках $(\pm 3; -1)$, пересечение с осью OY в точке $(0; 8)$, пересечения с осью OX в точках $(\pm 2; 0)$ и $(\pm 4; 0)$.

г)

Рассмотрим функцию $y = |x^2 - 6|x| + 8|$.

Данная функция представляет собой модуль функции, рассмотренной в пункте в). Обозначим $g(x) = x^2 - 6|x| + 8$. Тогда $y = |g(x)|$.

График функции $y=|f(x)|$ получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси OX тех его частей, которые лежат ниже оси OX. Части графика, лежащие выше или на оси OX, остаются без изменений.

Из анализа в пункте в) мы знаем, что график $g(x)$ лежит ниже оси OX на интервалах $(-4; -2)$ и $(2; 4)$. Именно эти участки будут отражены.

В результате преобразования:
1. Части графика $g(x)$, где $g(x) \ge 0$ (на промежутках $(-\infty; -4]$, $[-2; 2]$ и $[4; +\infty)$), остаются на месте.
2. Участки парабол на интервалах $(-4; -2)$ и $(2; 4)$ отражаются вверх.
3. Вершины парабол, которые были в точках $(3; -1)$ и $(-3; -1)$, после отражения станут точками локальных максимумов ("пиками") в $(3; 1)$ и $(-3; 1)$.
4. Точки пересечения с осью OX $(\pm 2; 0)$ и $(\pm 4; 0)$ теперь являются точками касания (локальные минимумы).

Ответ: График функции получается из графика $y=x^2-6|x|+8$ отражением его отрицательной части относительно оси OX. График имеет локальные максимумы в точках $(\pm 3; 1)$, локальные минимумы в точках $(\pm 2; 0)$ и $(\pm 4; 0)$, и проходит через точку $(0; 8)$.

д)

Рассмотрим функцию $y = ||x| - 2|$.

Для построения графика раскроем модули последовательно. Сначала раскроем внутренний модуль $|x|$, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$, функция принимает вид $y = |x-2|$. Этот модуль раскрывается так:
- если $x \ge 2$, то $y = x-2$;
- если $0 \le x < 2$, то $y = -(x-2) = 2-x$.

2. При $x < 0$, функция принимает вид $y = |-x-2|$. Так как $|-a|=|a|$, это эквивалентно $y = |x+2|$. Этот модуль раскрывается так:
- если $-2 \le x < 0$, то $y = x+2$;
- если $x < -2$, то $y = -(x+2) = -x-2$.

Таким образом, функция задается кусочно-линейно:

$ y = \begin{cases} -x-2, & \text{если } x < -2 \\ x+2, & \text{если } -2 \le x < 0 \\ 2-x, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ x-2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $

График имеет характерную W-образную форму. Он состоит из четырех лучей, образующих "изломы" в точках, где выражения под модулями меняют знак. Ключевые точки: точки локальных минимумов $(\pm 2; 0)$ на оси OX и точка локального максимума $(0; 2)$ на оси OY.

Ответ: График функции имеет W-образную форму с точками излома в $(\pm 2; 0)$ (минимумы) и $(0; 2)$ (максимум).

е)

Рассмотрим функцию $y = \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$.

Построение графика проведем в два этапа: сначала построим график функции под модулем, $g(x) = \frac{x-1}{x+1}$, а затем применим операцию взятия модуля.

1. Анализ функции $g(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
Это дробно-линейная функция. Ее область определения $x \neq -1$.
Для удобства анализа выделим целую часть: $g(x) = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$.
График этой функции — гипербола со следующими свойствами: вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная асимптота $y=1$, пересечение с осью OY в точке $(0; -1)$ (т.к. $g(0)=-1$), пересечение с осью OX в точке $(1; 0)$ (т.к. $g(1)=0$).

2. Построение графика $y = |g(x)| = \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$.
Часть графика $g(x)$, лежащая ниже оси OX, отражается симметрично относительно этой оси. Найдем, где $g(x) < 0$: неравенство $\frac{x-1}{x+1} < 0$ справедливо на интервале $x \in (-1; 1)$.
Таким образом, ветвь гиперболы, расположенная между асимптотой $x=-1$ и точкой $(1;0)$, будет отражена вверх.

Свойства итогового графика:
- Вертикальная асимптота $x=-1$ сохраняется.
- Горизонтальная асимптота $y=1$ сохраняется.
- Точка пересечения с OX $(1; 0)$ становится точкой касания (локальный минимум).
- Точка пересечения с OY $(0; -1)$ после отражения становится точкой $(0; 1)$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Он касается оси OX в точке $(1; 0)$ и пересекает ось OY в точке $(0; 1)$.