Номер 2.107, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.107, страница 92.

2.107* Решите неравенство:

a) $\sqrt{x^2 + x - 12} + \sqrt{-x^2 + x + 6} \ge 9 - x^2$;

б) $\sqrt{x^2 - x - 12} + \sqrt{-x^2 - x + 6} \le x^2 - 9.$

a)

Решим неравенство $ \sqrt{x^2 + x - 12} + \sqrt{-x^2 + x + 6} \ge 9 - x^2 $.

В первую очередь найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x - 12 \ge 0 \\ -x^2 + x + 6 \ge 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ x^2 + x - 12 \ge 0 $.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ x^2 + x - 12 = 0 $. Используя теорему Виета, получаем корни $ x_1 = -4 $ и $ x_2 = 3 $. Парабола $ y = x^2 + x - 12 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ x^2 + x - 12 \ge 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty; -4] \cup [3; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ -x^2 + x + 6 \ge 0 $.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $ x^2 - x - 6 \le 0 $. Найдем корни уравнения $ x^2 - x - 6 = 0 $. Используя теорему Виета, получаем корни $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = 3 $. Парабола $ y = x^2 - x - 6 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ x^2 - x - 6 \le 0 $ выполняется при $ x \in [-2; 3] $.

3. Найдем ОДЗ как пересечение полученных множеств: $ ((-\infty; -4] \cup [3; +\infty)) \cap [-2; 3] $. Пересечением этих двух множеств является единственная точка $ x = 3 $.

Таким образом, область допустимых значений состоит из одного числа. Подставим $ x = 3 $ в исходное неравенство, чтобы проверить, является ли оно решением:

$ \sqrt{3^2 + 3 - 12} + \sqrt{-3^2 + 3 + 6} \ge 9 - 3^2 $

$ \sqrt{9 + 3 - 12} + \sqrt{-9 + 3 + 6} \ge 9 - 9 $

$ \sqrt{0} + \sqrt{0} \ge 0 $

$ 0 \ge 0 $

Полученное неравенство верно. Следовательно, $ x = 3 $ является единственным решением.

Ответ: $ \{3\} $.

б)

Решим неравенство $ \sqrt{x^2 - x - 12} + \sqrt{-x^2 - x + 6} \le x^2 - 9 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - x - 12 \ge 0 \\ -x^2 - x + 6 \ge 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ x^2 - x - 12 \ge 0 $.
Корни уравнения $ x^2 - x - 12 = 0 $ равны $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 4 $. Так как ветви параболы $ y = x^2 - x - 12 $ направлены вверх, решение неравенства: $ x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ -x^2 - x + 6 \ge 0 $, что эквивалентно $ x^2 + x - 6 \le 0 $.
Корни уравнения $ x^2 + x - 6 = 0 $ равны $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 2 $. Так как ветви параболы $ y = x^2 + x - 6 $ направлены вверх, решение неравенства: $ x \in [-3; 2] $.

3. Найдем ОДЗ как пересечение полученных множеств: $ ((-\infty; -3] \cup [4; +\infty)) \cap [-3; 2] $. Пересечением этих двух множеств является единственная точка $ x = -3 $.

Область допустимых значений состоит из единственного значения $ x = -3 $. Проверим его, подставив в исходное неравенство:

$ \sqrt{(-3)^2 - (-3) - 12} + \sqrt{-(-3)^2 - (-3) + 6} \le (-3)^2 - 9 $

$ \sqrt{9 + 3 - 12} + \sqrt{-9 + 3 + 6} \le 9 - 9 $

$ \sqrt{0} + \sqrt{0} \le 0 $

$ 0 \le 0 $

Неравенство верно, значит, $ x = -3 $ является решением.

Ответ: $ \{-3\} $.