Номер 2.100, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.11. Системы рациональных неравенств - номер 2.100, страница 90.

Условие.

2.100 a) $\begin{cases} x^2 - 3x + 4 < 0 \\ \frac{x^2 - 5x}{x + 3} \ge 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 5x - 14 > 0 \\ \frac{2x^2 + 9x}{x + 9} \le 1,1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{12}{20 + x} + \frac{12}{20 - x} \le \frac{5}{4} \\ x^2 \le 25 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{5 - x} + \frac{39}{25 - x^2} \ge \frac{4 - x}{5 + x} \\ x^2 < 49 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x + 4 < 0 \\ \frac{x^2 - 5x}{x + 3} \ge 2 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 3x + 4 < 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 4$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 - 3x + 4$ полностью лежит выше оси Ox, то есть выражение $x^2 - 3x + 4$ положительно при любых значениях $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 4 < 0$ не имеет решений.

2. Так как первое неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений, поскольку решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Ответ: нет решений.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + 5x - 14 > 0 \\ \frac{2x^2 + 9x}{x + 9} \le 1,1 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 14 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + 5x - 14$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ за пределами корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{2x^2 + 9x}{x + 9} \le 1,1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -9$.

Перенесем все в левую часть:

$\frac{2x^2 + 9x}{x + 9} - \frac{11}{10} \le 0$

$\frac{10(2x^2 + 9x) - 11(x + 9)}{10(x + 9)} \le 0$

$\frac{20x^2 + 90x - 11x - 99}{10(x + 9)} \le 0$

$\frac{20x^2 + 79x - 99}{x + 9} \le 0$

Найдем корни числителя $20x^2 + 79x - 99 = 0$.

$D = 79^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-99) = 6241 + 7920 = 14161 = 119^2$.

$x_1 = \frac{-79 - 119}{40} = \frac{-198}{40} = -\frac{99}{20} = -4,95$.

$x_2 = \frac{-79 + 119}{40} = \frac{40}{40} = 1$.

Используем метод интервалов. Корни числителя: -4,95 и 1 (входят в решение). Корень знаменателя: -9 (не входит в решение).

На числовой оси отмечаем точки -9, -4,95, 1. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty; -9)$, $(-9; -4,95]$, $[-4,95; 1]$, $[1; +\infty)$.

Определяем знаки выражения $\frac{20x^2 + 79x - 99}{x + 9}$ в каждом интервале. Получаем:

$(-\infty; -9)$: минус

$(-9; -4,95]$: плюс

$[-4,95; 1]$: минус

$[1; +\infty)$: плюс

Нам нужны интервалы со знаком "минус".

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$( (-\infty; -7) \cup (2; +\infty) ) \cap ( (-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1] )$.

Пересечение $(-\infty; -7)$ с $(-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1]$ дает $(-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; -7)$.

Пересечение $(2; +\infty)$ с $(-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1]$ является пустым множеством.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; -7)$.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{12}{20+x} + \frac{12}{20-x} \le \frac{5}{4} \\ x^2 \le 25 \end{cases} $$

1. Решим второе неравенство: $x^2 \le 25$.

Это неравенство равносильно $-5 \le x \le 5$.

Решение второго неравенства: $x \in [-5; 5]$.

2. Решим первое неравенство: $\frac{12}{20+x} + \frac{12}{20-x} \le \frac{5}{4}$.

ОДЗ: $x \neq -20$ и $x \neq 20$. Условие $x \in [-5; 5]$ удовлетворяет ОДЗ.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{12(20-x) + 12(20+x)}{(20+x)(20-x)} \le \frac{5}{4}$

$\frac{240 - 12x + 240 + 12x}{400 - x^2} \le \frac{5}{4}$

$\frac{480}{400 - x^2} \le \frac{5}{4}$

Для $x \in [-5; 5]$, значение $x^2$ находится в диапазоне $[0; 25]$. Следовательно, знаменатель $400 - x^2$ всегда положителен (от $400-25=375$ до $400-0=400$). Поэтому можно умножить обе части неравенства на $4(400 - x^2)$ без изменения знака неравенства.

$4 \cdot 480 \le 5(400 - x^2)$

$1920 \le 2000 - 5x^2$

$5x^2 \le 2000 - 1920$

$5x^2 \le 80$

$x^2 \le 16$

Решение этого неравенства: $-4 \le x \le 4$, то есть $x \in [-4; 4]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$[-5; 5] \cap [-4; 4] = [-4; 4]$.

Ответ: $x \in [-4; 4]$.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{1}{5-x} + \frac{39}{25-x^2} \ge \frac{4-x}{5+x} \\ x^2 < 49 \end{cases} $$

1. Решим второе неравенство: $x^2 < 49$.

Это неравенство равносильно $-7 < x < 7$.

Решение второго неравенства: $x \in (-7; 7)$.

2. Решим первое неравенство: $\frac{1}{5-x} + \frac{39}{25-x^2} \ge \frac{4-x}{5+x}$.

ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю $(5-x)(5+x) = 25 - x^2$:

$\frac{1}{5-x} + \frac{39}{(5-x)(5+x)} - \frac{4-x}{5+x} \ge 0$

$\frac{1(5+x) + 39 - (4-x)(5-x)}{(5-x)(5+x)} \ge 0$

$\frac{5+x+39 - (20-4x-5x+x^2)}{(5-x)(5+x)} \ge 0$

$\frac{44+x - (x^2-9x+20)}{(5-x)(5+x)} \ge 0$

$\frac{44+x-x^2+9x-20}{25-x^2} \ge 0$

$\frac{-x^2+10x+24}{25-x^2} \ge 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, знак дроби не изменится:

$\frac{x^2-10x-24}{x^2-25} \ge 0$

$\frac{(x-12)(x+2)}{(x-5)(x+5)} \ge 0$

Используем метод интервалов. Корни числителя: 12 и -2. Корни знаменателя: 5 и -5.

Отмечаем на числовой оси точки -5, -2, 5, 12. Точки -2 и 12 закрашенные, -5 и 5 выколотые.

Определяем знаки выражения в интервалах:

$(-\infty; -5)$: плюс

$(-5; -2]$: минус

$[-2; 5)$: плюс

$(5; 12]$: минус

$[12; +\infty)$: плюс

Нам нужны интервалы со знаком "плюс".

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup [-2; 5) \cup [12; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений:

$(-7; 7) \cap ( (-\infty; -5) \cup [-2; 5) \cup [12; +\infty) )$.

Пересечение с $(-\infty; -5)$ дает $(-7; -5)$.

Пересечение с $[-2; 5)$ дает $[-2; 5)$.

Пересечение с $[12; +\infty)$ пусто.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-7; -5) \cup [-2; 5)$.