Номер 2.100, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.100, страница 90.
№2.100 (с. 90)
Условие. №2.100 (с. 90)
скриншот условия

2.100 a) $\begin{cases} x^2 - 3x + 4 < 0 \\ \frac{x^2 - 5x}{x + 3} \ge 2 \end{cases}$
б) $\begin{cases} x^2 + 5x - 14 > 0 \\ \frac{2x^2 + 9x}{x + 9} \le 1,1 \end{cases}$
в) $\begin{cases} \frac{12}{20 + x} + \frac{12}{20 - x} \le \frac{5}{4} \\ x^2 \le 25 \end{cases}$
г) $\begin{cases} \frac{1}{5 - x} + \frac{39}{25 - x^2} \ge \frac{4 - x}{5 + x} \\ x^2 < 49 \end{cases}$
Решение 1. №2.100 (с. 90)




Решение 2. №2.100 (с. 90)

Решение 3. №2.100 (с. 90)


Решение 4. №2.100 (с. 90)


Решение 5. №2.100 (с. 90)
а)
Рассмотрим систему неравенств:
$$ \begin{cases} x^2 - 3x + 4 < 0 \\ \frac{x^2 - 5x}{x + 3} \ge 2 \end{cases} $$
1. Решим первое неравенство: $x^2 - 3x + 4 < 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 4$:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 - 3x + 4$ полностью лежит выше оси Ox, то есть выражение $x^2 - 3x + 4$ положительно при любых значениях $x$.
Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 4 < 0$ не имеет решений.
2. Так как первое неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений, поскольку решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств.
Ответ: нет решений.
б)
Рассмотрим систему неравенств:
$$ \begin{cases} x^2 + 5x - 14 > 0 \\ \frac{2x^2 + 9x}{x + 9} \le 1,1 \end{cases} $$
1. Решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 14 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 + 5x - 14$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ за пределами корней.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (2; +\infty)$.
2. Решим второе неравенство: $\frac{2x^2 + 9x}{x + 9} \le 1,1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -9$.
Перенесем все в левую часть:
$\frac{2x^2 + 9x}{x + 9} - \frac{11}{10} \le 0$
$\frac{10(2x^2 + 9x) - 11(x + 9)}{10(x + 9)} \le 0$
$\frac{20x^2 + 90x - 11x - 99}{10(x + 9)} \le 0$
$\frac{20x^2 + 79x - 99}{x + 9} \le 0$
Найдем корни числителя $20x^2 + 79x - 99 = 0$.
$D = 79^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-99) = 6241 + 7920 = 14161 = 119^2$.
$x_1 = \frac{-79 - 119}{40} = \frac{-198}{40} = -\frac{99}{20} = -4,95$.
$x_2 = \frac{-79 + 119}{40} = \frac{40}{40} = 1$.
Используем метод интервалов. Корни числителя: -4,95 и 1 (входят в решение). Корень знаменателя: -9 (не входит в решение).
На числовой оси отмечаем точки -9, -4,95, 1. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty; -9)$, $(-9; -4,95]$, $[-4,95; 1]$, $[1; +\infty)$.
Определяем знаки выражения $\frac{20x^2 + 79x - 99}{x + 9}$ в каждом интервале. Получаем:
$(-\infty; -9)$: минус
$(-9; -4,95]$: плюс
$[-4,95; 1]$: минус
$[1; +\infty)$: плюс
Нам нужны интервалы со знаком "минус".
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1]$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$( (-\infty; -7) \cup (2; +\infty) ) \cap ( (-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1] )$.
Пересечение $(-\infty; -7)$ с $(-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1]$ дает $(-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; -7)$.
Пересечение $(2; +\infty)$ с $(-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1]$ является пустым множеством.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; -7)$.
в)
Рассмотрим систему неравенств:
$$ \begin{cases} \frac{12}{20+x} + \frac{12}{20-x} \le \frac{5}{4} \\ x^2 \le 25 \end{cases} $$
1. Решим второе неравенство: $x^2 \le 25$.
Это неравенство равносильно $-5 \le x \le 5$.
Решение второго неравенства: $x \in [-5; 5]$.
2. Решим первое неравенство: $\frac{12}{20+x} + \frac{12}{20-x} \le \frac{5}{4}$.
ОДЗ: $x \neq -20$ и $x \neq 20$. Условие $x \in [-5; 5]$ удовлетворяет ОДЗ.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{12(20-x) + 12(20+x)}{(20+x)(20-x)} \le \frac{5}{4}$
$\frac{240 - 12x + 240 + 12x}{400 - x^2} \le \frac{5}{4}$
$\frac{480}{400 - x^2} \le \frac{5}{4}$
Для $x \in [-5; 5]$, значение $x^2$ находится в диапазоне $[0; 25]$. Следовательно, знаменатель $400 - x^2$ всегда положителен (от $400-25=375$ до $400-0=400$). Поэтому можно умножить обе части неравенства на $4(400 - x^2)$ без изменения знака неравенства.
$4 \cdot 480 \le 5(400 - x^2)$
$1920 \le 2000 - 5x^2$
$5x^2 \le 2000 - 1920$
$5x^2 \le 80$
$x^2 \le 16$
Решение этого неравенства: $-4 \le x \le 4$, то есть $x \in [-4; 4]$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$[-5; 5] \cap [-4; 4] = [-4; 4]$.
Ответ: $x \in [-4; 4]$.
г)
Рассмотрим систему неравенств:
$$ \begin{cases} \frac{1}{5-x} + \frac{39}{25-x^2} \ge \frac{4-x}{5+x} \\ x^2 < 49 \end{cases} $$
1. Решим второе неравенство: $x^2 < 49$.
Это неравенство равносильно $-7 < x < 7$.
Решение второго неравенства: $x \in (-7; 7)$.
2. Решим первое неравенство: $\frac{1}{5-x} + \frac{39}{25-x^2} \ge \frac{4-x}{5+x}$.
ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю $(5-x)(5+x) = 25 - x^2$:
$\frac{1}{5-x} + \frac{39}{(5-x)(5+x)} - \frac{4-x}{5+x} \ge 0$
$\frac{1(5+x) + 39 - (4-x)(5-x)}{(5-x)(5+x)} \ge 0$
$\frac{5+x+39 - (20-4x-5x+x^2)}{(5-x)(5+x)} \ge 0$
$\frac{44+x - (x^2-9x+20)}{(5-x)(5+x)} \ge 0$
$\frac{44+x-x^2+9x-20}{25-x^2} \ge 0$
$\frac{-x^2+10x+24}{25-x^2} \ge 0$
Умножим числитель и знаменатель на -1, знак дроби не изменится:
$\frac{x^2-10x-24}{x^2-25} \ge 0$
$\frac{(x-12)(x+2)}{(x-5)(x+5)} \ge 0$
Используем метод интервалов. Корни числителя: 12 и -2. Корни знаменателя: 5 и -5.
Отмечаем на числовой оси точки -5, -2, 5, 12. Точки -2 и 12 закрашенные, -5 и 5 выколотые.
Определяем знаки выражения в интервалах:
$(-\infty; -5)$: плюс
$(-5; -2]$: минус
$[-2; 5)$: плюс
$(5; 12]$: минус
$[12; +\infty)$: плюс
Нам нужны интервалы со знаком "плюс".
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup [-2; 5) \cup [12; +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений:
$(-7; 7) \cap ( (-\infty; -5) \cup [-2; 5) \cup [12; +\infty) )$.
Пересечение с $(-\infty; -5)$ дает $(-7; -5)$.
Пересечение с $[-2; 5)$ дает $[-2; 5)$.
Пересечение с $[12; +\infty)$ пусто.
Объединяем полученные интервалы.
Ответ: $x \in (-7; -5) \cup [-2; 5)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 2.100 расположенного на странице 90 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.100 (с. 90), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.