Страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.93° Что значит решить систему рациональных неравенств? Как решают системы рациональных неравенств?

Что значит решить систему рациональных неравенств?
Решить систему рациональных неравенств — это значит найти множество всех значений переменной, при которых каждое из неравенств, входящих в систему, становится верным числовым неравенством. Это множество значений называется решением системы. Если таких значений не существует, говорят, что система не имеет решений, а ее решением является пустое множество.
Рациональное неравенство — это неравенство вида $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ (или с другими знаками: $<, \le, \ge$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — это многочлены от переменной $x$.
Таким образом, для решения системы необходимо найти пересечение множеств решений всех отдельных неравенств, составляющих систему.

Ответ: Решить систему рациональных неравенств — это найти все значения переменной, которые одновременно удовлетворяют каждому неравенству в системе.

Как решают системы рациональных неравенств?
Для решения системы рациональных неравенств существует стандартный алгоритм:
1. Решить каждое неравенство системы по отдельности. Чаще всего для этого используется метод интервалов, который состоит из следующих шагов:
а) Перенести все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль. Привести левую часть к виду одной рациональной дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$.
б) Найти корни числителя (решив уравнение $P(x) = 0$) и корни знаменателя (решив уравнение $Q(x) = 0$).
в) Отметить все найденные корни на числовой прямой. Корни знаменателя всегда отмечаются «выколотыми» (пустыми) точками, так как знаменатель не может быть равен нулю. Корни числителя отмечаются «закрашенными» точками, если знак неравенства нестрогий ($\le$ или $\ge$), и «выколотыми», если знак строгий ($<$ или $>$).
г) Определить знаки получившегося выражения $\frac{P(x)}{Q(x)}$ на каждом из интервалов, на которые числовая прямая разбилась отмеченными точками.
д) Выбрать интервалы, которые удовлетворяют знаку неравенства, и записать их в виде множества — это и будет решение одного неравенства.
2. Найти пересечение множеств решений всех неравенств системы. Для этого удобно нарисовать все полученные решения на одной числовой прямой. Та область (или области), где все решения (их "штриховки") пересекаются, и будет являться итоговым решением системы.

Пример:
Решим систему: $\begin{cases} \frac{x+3}{x-4} > 0 \\ x-6 \le 0 \end{cases}$
1) Решаем первое неравенство $\frac{x+3}{x-4} > 0$. Корни числителя: $x=-3$. Корни знаменателя: $x=4$. Оба корня выколотые, так как неравенство строгое. Наносим на числовую ось и определяем знаки: $(+)\ \text{на}\ (-\infty; -3)$, $(-)\ \text{на}\ (-3; 4)$, $(+)\ \text{на}\ (4; +\infty)$. Нам нужны положительные значения. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.
2) Решаем второе неравенство $x-6 \le 0$. Переносим 6 вправо: $x \le 6$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 6]$.
3) Находим пересечение множеств $(-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$ и $(-\infty; 6]$. Изобразив их на одной числовой прямой, находим общие интервалы. Это будут $(-\infty; -3)$ и $(4; 6]$.
Итоговое решение системы: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; 6]$.

Ответ: Чтобы решить систему рациональных неравенств, нужно решить каждое неравенство в системе отдельно (обычно методом интервалов), а затем найти пересечение (общую часть) всех полученных множеств решений.

2.94° Является ли какое-нибудь из чисел −1; 1; 0; 2 решением системы рациональных неравенств:

а) $\begin{cases} (x-3)^2 > 0 \\ (x-2)(x-5) < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+5)^2 > 0 \\ (x+4)(x-4) > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 3x + 5 > 0 \\ \frac{1}{x-4} < 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 - 6x - 8 < 0 \\ \frac{x+4}{x} > 5? \end{cases}$

Чтобы определить, является ли число решением системы неравенств, необходимо подставить это число в каждое неравенство системы. Если все неравенства обращаются в верные числовые неравенства, то число является решением системы. Если хотя бы одно неравенство оказывается неверным, число не является решением.

а) Проверим числа для системы $\begin{cases} (x - 3)^2 > 0 \\ (x - 2)(x - 5) < 0 \end{cases}$.

• При $x = -1$:
  Первое неравенство: $(-1 - 3)^2 = (-4)^2 = 16$. Неравенство $16 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(-1 - 2)(-1 - 5) = (-3)(-6) = 18$. Неравенство $18 < 0$ неверно.
  Число $-1$ не является решением системы.
• При $x = 1$:
  Первое неравенство: $(1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$. Неравенство $4 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(1 - 2)(1 - 5) = (-1)(-4) = 4$. Неравенство $4 < 0$ неверно.
  Число $1$ не является решением системы.
• При $x = 0$:
  Первое неравенство: $(0 - 3)^2 = (-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(0 - 2)(0 - 5) = (-2)(-5) = 10$. Неравенство $10 < 0$ неверно.
  Число $0$ не является решением системы.
• При $x = 2$:
  Первое неравенство: $(2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1$. Неравенство $1 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(2 - 2)(2 - 5) = 0 \cdot (-3) = 0$. Неравенство $0 < 0$ неверно.
  Число $2$ не является решением системы.

Ответ: ни одно из чисел $-1; 1; 0; 2$ не является решением данной системы.

б) Проверим числа для системы $\begin{cases} (x + 5)^2 > 0 \\ (x + 4)(x - 4) > 0 \end{cases}$.

• При $x = -1$:
  Первое неравенство: $(-1 + 5)^2 = 4^2 = 16$. Неравенство $16 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(-1 + 4)(-1 - 4) = 3 \cdot (-5) = -15$. Неравенство $-15 > 0$ неверно.
  Число $-1$ не является решением системы.
• При $x = 1$:
  Первое неравенство: $(1 + 5)^2 = 6^2 = 36$. Неравенство $36 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(1 + 4)(1 - 4) = 5 \cdot (-3) = -15$. Неравенство $-15 > 0$ неверно.
  Число $1$ не является решением системы.
• При $x = 0$:
  Первое неравенство: $(0 + 5)^2 = 5^2 = 25$. Неравенство $25 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(0 + 4)(0 - 4) = 4 \cdot (-4) = -16$. Неравенство $-16 > 0$ неверно.
  Число $0$ не является решением системы.
• При $x = 2$:
  Первое неравенство: $(2 + 5)^2 = 7^2 = 49$. Неравенство $49 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(2 + 4)(2 - 4) = 6 \cdot (-2) = -12$. Неравенство $-12 > 0$ неверно.
  Число $2$ не является решением системы.

Ответ: ни одно из чисел $-1; 1; 0; 2$ не является решением данной системы.

в) Проверим числа для системы $\begin{cases} x^2 - 3x + 5 > 0 \\ \frac{1}{x - 4} < 2 \end{cases}$.

Рассмотрим первое неравенство $x^2 - 3x + 5 > 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, то трехчлен $x^2 - 3x + 5$ положителен при любых значениях $x$. Значит, первое неравенство выполняется для всех проверяемых чисел. Остается проверить второе неравенство.

• При $x = -1$:
  Второе неравенство: $\frac{1}{-1 - 4} = -\frac{1}{5}$. Неравенство $-\frac{1}{5} < 2$ верно.
  Оба неравенства верны, значит, число $-1$ является решением системы.
• При $x = 1$:
  Второе неравенство: $\frac{1}{1 - 4} = -\frac{1}{3}$. Неравенство $-\frac{1}{3} < 2$ верно.
  Оба неравенства верны, значит, число $1$ является решением системы.
• При $x = 0$:
  Второе неравенство: $\frac{1}{0 - 4} = -\frac{1}{4}$. Неравенство $-\frac{1}{4} < 2$ верно.
  Оба неравенства верны, значит, число $0$ является решением системы.
• При $x = 2$:
  Второе неравенство: $\frac{1}{2 - 4} = -\frac{1}{2}$. Неравенство $-\frac{1}{2} < 2$ верно.
  Оба неравенства верны, значит, число $2$ является решением системы.

Ответ: все числа $-1; 1; 0; 2$ являются решениями данной системы.

г) Проверим числа для системы $\begin{cases} x^2 - 6x - 8 < 0 \\ \frac{x + 4}{x} > 5 \end{cases}$.

• При $x = -1$:
  Первое неравенство: $(-1)^2 - 6(-1) - 8 = 1 + 6 - 8 = -1$. Неравенство $-1 < 0$ верно.
  Второе неравенство: $\frac{-1 + 4}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$. Неравенство $-3 > 5$ неверно.
  Число $-1$ не является решением системы.
• При $x = 1$:
  Первое неравенство: $1^2 - 6(1) - 8 = 1 - 6 - 8 = -13$. Неравенство $-13 < 0$ верно.
  Второе неравенство: $\frac{1 + 4}{1} = 5$. Неравенство $5 > 5$ неверно (так как неравенство строгое).
  Число $1$ не является решением системы.
• При $x = 0$:
  Второе неравенство $\frac{x+4}{x} > 5$ не имеет смысла, так как знаменатель обращается в ноль (деление на ноль недопустимо).
  Число $0$ не входит в область допустимых значений, следовательно, не является решением.
• При $x = 2$:
  Первое неравенство: $2^2 - 6(2) - 8 = 4 - 12 - 8 = -16$. Неравенство $-16 < 0$ верно.
  Второе неравенство: $\frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Неравенство $3 > 5$ неверно.
  Число $2$ не является решением системы.

Ответ: ни одно из чисел $-1; 1; 0; 2$ не является решением данной системы.

Решите систему неравенств (2.95—2.100):

2.95

а) $\begin{cases} (x + 1)(x - 3) < 0 \\ (x + 2)(x - 1) < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x (x + 5) < 0 \\ (x - 1)(x - 4) < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x + 2)(x + 1) > 0 \\ (x + 6)(x - 3) \le 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x - 5)(x - 3) > 0 \\ (x + 3)(x - 4) \le 0. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x+1)(x-3) < 0 \\ (x+2)(x-1) < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x+1)(x-3) < 0$.
Найдем корни уравнения $(x+1)(x-3) = 0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
Так как это парабола с ветвями вверх, то значения меньше нуля находятся между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-1, 3)$.

2. Решим второе неравенство: $(x+2)(x-1) < 0$.
Найдем корни уравнения $(x+2)(x-1) = 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.
Это также парабола с ветвями вверх, поэтому значения меньше нуля находятся между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-2, 1)$.

3. Найдем пересечение полученных решений.
Нам нужно найти пересечение интервалов $(-1, 3)$ и $(-2, 1)$.
Отметив эти интервалы на числовой прямой, видим, что их пересечением является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x(x+5) < 0 \\ (x-1)(x-4) < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x(x+5) < 0$.
Корни уравнения $x(x+5) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.
Парабола $y=x(x+5)$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-5, 0)$.

2. Решим второе неравенство: $(x-1)(x-4) < 0$.
Корни уравнения $(x-1)(x-4) = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Парабола $y=(x-1)(x-4)$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (1, 4)$.

3. Найдем пересечение полученных решений.
Интервалы $(-5, 0)$ и $(1, 4)$ не пересекаются.
Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x+2)(x+1) > 0 \\ (x+6)(x-3) \le 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x+2)(x+1) > 0$.
Корни уравнения $(x+2)(x+1) = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.
Парабола $y=(x+2)(x+1)$ с ветвями вверх, поэтому значения больше нуля находятся вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x+6)(x-3) \le 0$.
Корни уравнения $(x+6)(x-3) = 0$: $x_1 = -6$, $x_2 = 3$.
Парабола $y=(x+6)(x-3)$ с ветвями вверх, поэтому значения меньше или равные нулю находятся между корнями, включая сами корни.
Решение второго неравенства: $x \in [-6, 3]$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)) \cap [-6, 3]$.
Пересечение множества $[-6, 3]$ с $(-\infty, -2)$ дает интервал $[-6, -2)$.
Пересечение множества $[-6, 3]$ с $(-1, +\infty)$ дает интервал $(-1, 3]$.
Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-6, -2) \cup (-1, 3]$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x-5)(x-3) > 0 \\ (x+3)(x-4) \le 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x-5)(x-3) > 0$.
Корни уравнения $(x-5)(x-3) = 0$: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.
Парабола $y=(x-5)(x-3)$ с ветвями вверх, поэтому значения больше нуля находятся вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x+3)(x-4) \le 0$.
Корни уравнения $(x+3)(x-4) = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.
Парабола $y=(x+3)(x-4)$ с ветвями вверх, поэтому значения меньше или равные нулю находятся между корнями, включая сами корни.
Решение второго неравенства: $x \in [-3, 4]$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, 3) \cup (5, +\infty)) \cap [-3, 4]$.
Пересечение интервала $[-3, 4]$ с объединением $(-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$ равно пересечению $[-3, 4]$ с $(-\infty, 3)$.
Пересечение интервалов $[-3, 4]$ и $(-\infty, 3)$ является полуинтервалом $[-3, 3)$.

Ответ: $x \in [-3, 3)$.

2.96 a) $\begin{cases} (x - 1)(x - 2) < 0 \\ x (x - 3) > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 10)(x - 13) > 0 \\ (x + 8)(x - 12) < 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 4 \le 0 \\ x \ge 9; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ x \le -2. \end{cases}$

а)

Решим первое неравенство системы $(x-1)(x-2)<0$. Корнями соответствующего уравнения $(x-1)(x-2)=0$ являются $x=1$ и $x=2$. Поскольку график функции $y=(x-1)(x-2)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (1, 2)$.

Решим второе неравенство системы $x(x-3)>0$. Корнями соответствующего уравнения $x(x-3)=0$ являются $x=0$ и $x=3$. График функции $y=x(x-3)$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Чтобы найти решение системы, нужно найти пересечение полученных множеств: $(1, 2) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty))$. Эти множества не имеют общих точек, следовательно, пересечение пустое.

Ответ: $\emptyset$

б)

Решим первое неравенство системы $(x+10)(x-13)>0$. Корнями уравнения $(x+10)(x-13)=0$ являются $x=-10$ и $x=13$. Это парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется за пределами отрезка между корнями. Решение: $x \in (-\infty, -10) \cup (13, \infty)$.

Решим второе неравенство системы $(x+8)(x-12)<0$. Корнями уравнения $(x+8)(x-12)=0$ являются $x=-8$ и $x=12$. Это парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется на интервале между корнями. Решение: $x \in (-8, 12)$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty, -10) \cup (13, \infty)) \cap (-8, 12)$. У этих множеств нет общих точек.

Ответ: $\emptyset$

в)

Решим первое неравенство системы $x^2-4 \le 0$. Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+2) \le 0$. Корнями уравнения $(x-2)(x+2)=0$ являются $x=-2$ и $x=2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in [-2, 2]$.

Второе неравенство системы $x \ge 9$. Его решением является числовой луч $x \in [9, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $[-2, 2] \cap [9, \infty)$. Данные отрезки не пересекаются.

Ответ: $\emptyset$

г)

Решим первое неравенство системы $x^2-9 \ge 0$. Разложим левую часть на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$. Корнями уравнения $(x-3)(x+3)=0$ являются $x=-3$ и $x=3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется за пределами отрезка между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Второе неравенство системы $x \le -2$. Его решением является числовой луч $x \in (-\infty, -2]$.

Найдем пересечение множеств решений: $((-\infty, -3] \cup [3, \infty)) \cap (-\infty, -2]$. Пересечением луча $(-\infty, -3]$ с лучом $(-\infty, -2]$ является луч $(-\infty, -3]$. Пересечение луча $[3, \infty)$ с лучом $(-\infty, -2]$ является пустым множеством. Таким образом, решением системы является объединение полученных результатов.

Ответ: $x \in (-\infty, -3]$

2.97 a) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x-5}{x+2} < 0 \\ \frac{x+7}{x-1} > 0 \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+4}{x-2} < 0 \\ \frac{x+8}{x-7} > 0 \end{array} \right.$

в) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2-1}{x^2+4} \ge 0 \\ \frac{x-5}{x^2-4} < 0 \end{array} \right.$

г) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2-16}{x^2+1} < 0 \\ \frac{x-1}{x^2-4} \ge 0 \end{array} \right.$

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x-5}{x+2} < 0, \\ \frac{x+7}{x-1} > 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x-5}{x+2} < 0$. Это неравенство равносильно неравенству $(x-5)(x+2) < 0$ при условии $x \neq -2$. Корни левой части: $x=5$ и $x=-2$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-2, 5)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+7}{x-1} > 0$. Это неравенство равносильно неравенству $(x+7)(x-1) > 0$ при условии $x \neq 1$. Корни левой части: $x=-7$ и $x=1$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-2, 5)$ и $x \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty)$. Изобразив эти множества на числовой прямой, видим, что их общая часть — это интервал от 1 до 5.

Ответ: $x \in (1, 5)$.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x+4}{x-2} < 0, \\ \frac{x+8}{x-7} > 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x+4}{x-2} < 0$. Методом интервалов для корней $x=-4$ и $x=2$ находим, что решение: $x \in (-4, 2)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+8}{x-7} > 0$. Методом интервалов для корней $x=-8$ и $x=7$ находим, что решение: $x \in (-\infty, -8) \cup (7, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-4, 2) \cap ((-\infty, -8) \cup (7, \infty))$. Множество $(-4, 2)$ не имеет общих точек ни с $(-\infty, -8)$, ни с $(7, \infty)$. Следовательно, пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

в)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-1}{x^2+4} \geq 0, \\ \frac{x-5}{x^2-4} < 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x^2-1}{x^2+4} \geq 0$. Знаменатель $x^2+4$ всегда положителен (так как $x^2 \geq 0$, то $x^2+4 \geq 4$). Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Решаем неравенство $x^2-1 \geq 0$, или $(x-1)(x+1) \geq 0$. Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x-5}{x^2-4} < 0$. Разложим знаменатель на множители: $\frac{x-5}{(x-2)(x+2)} < 0$. Нули числителя и знаменателя: $x=5, x=2, x=-2$. Применяя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 5)$.

3. Найдем пересечение множеств $((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$ и $((-\infty, -2) \cup (2, 5))$.
Пересечение $(-\infty, -1]$ с $((-\infty, -2) \cup (2, 5))$ дает интервал $(-\infty, -2)$.
Пересечение $[1, \infty)$ с $((-\infty, -2) \cup (2, 5))$ дает интервал $(2, 5)$.
Объединив эти результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 5)$.

г)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-16}{x^2+1} < 0, \\ \frac{x-1}{x^2-4} \geq 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x^2-16}{x^2+1} < 0$. Знаменатель $x^2+1$ всегда положителен. Следовательно, решаем неравенство $x^2-16 < 0$, или $(x-4)(x+4) < 0$. Решением является интервал $x \in (-4, 4)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x-1}{x^2-4} \geq 0$. Разложим знаменатель: $\frac{x-1}{(x-2)(x+2)} \geq 0$. Нули числителя и знаменателя: $x=1, x=2, x=-2$. Точки $x=2$ и $x=-2$ исключаются из решения (знаменатель не может быть равен нулю). Методом интервалов находим решение: $x \in (-2, 1] \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение множеств $(-4, 4)$ и $((-2, 1] \cup (2, \infty))$.
Пересечение $(-4, 4) \cap (-2, 1]$ дает $(-2, 1]$.
Пересечение $(-4, 4) \cap (2, \infty)$ дает $(2, 4)$.
Объединяя эти два множества, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-2, 1] \cup (2, 4)$.

2.98 a) $$\begin{cases} x^2 \ge 4 \\ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 8x + 19} \ge 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x^2 \le 25 \\ \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 16} \le 0; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} (x - 2)(x - 3) \ge 0 \\ \frac{x + 3}{x^2 - 4} \ge 0; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} (x + 2)(x + 10) \le 0 \\ \frac{x - 2}{(x + 1)(x + 7)} \le 0. \end{cases}$$

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 \ge 4 \\ \frac{x^2-9}{x^2-8x+19} \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 \ge 4$.

Перенесем 4 в левую часть: $x^2 - 4 \ge 0$. Разложим на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$.

Корнями являются $x=-2$ и $x=2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне корней.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2-9}{x^2-8x+19} \ge 0$.

Рассмотрим знаменатель $x^2-8x+19$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 64 - 76 = -12$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2-8x+19$ всегда положителен при любых действительных значениях $x$.

Поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно неравенству $x^2-9 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$.

Корнями являются $x=-3$ и $x=3$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Решение второго: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Пересекая эти два множества на числовой оси, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 \le 25 \\ \frac{x^2+6x+9}{x^2-16} \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 \le 25$.

$x^2 - 25 \le 0 \implies (x-5)(x+5) \le 0$.

Корнями являются $x=-5$ и $x=5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-5, 5]$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x^2+6x+9}{x^2-16} \le 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель, разложив их на множители:

$\frac{(x+3)^2}{(x-4)(x+4)} \le 0$.

Числитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=-3$.

Знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Неравенство выполняется, если:

а) Дробь равна нулю, что происходит при $x=-3$.

б) Дробь меньше нуля. Так как числитель $(x+3)^2 > 0$ при $x \neq -3$, это возможно только если знаменатель отрицателен: $(x-4)(x+4) < 0$. Решением этого неравенства является интервал $x \in (-4, 4)$.

Объединяя оба случая ($\{ -3 \}$ и $(-4, 4)$), получаем решение второго неравенства: $x \in (-4, 4)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого: $x \in [-5, 5]$.

Решение второго: $x \in (-4, 4)$.

Пересечением этих множеств является $x \in (-4, 4)$.

Ответ: $x \in (-4, 4)$.

в) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x-2)(x-3) \ge 0 \\ \frac{x+3}{x^2-4} > 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $(x-2)(x-3) \ge 0$.

Корни $x=2$ и $x=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x+3}{x^2-4} > 0$.

Разложим знаменатель на множители: $\frac{x+3}{(x-2)(x+2)} > 0$.

Используем метод интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x=-3, x=-2, x=2$. Они разбивают числовую ось на интервалы.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, \infty)$, находим, что неравенство выполняется, когда $x \in (-3, -2) \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Решение второго: $x \in (-3, -2) \cup (2, \infty)$.

Пересечение множества $(-\infty, 2]$ со вторым решением дает $(-3, -2)$.

Пересечение множества $[3, \infty)$ со вторым решением дает $[3, \infty)$.

Объединяем полученные результаты.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup [3, \infty)$.

г) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x+2)(x+10) \le 0 \\ \frac{x-2}{(x+1)(x+7)} \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $(x+2)(x+10) \le 0$.

Корни $x=-10$ и $x=-2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится между корнями: $x \in [-10, -2]$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x-2}{(x+1)(x+7)} \le 0$.

Используем метод интервалов. Критические точки: $x=-7, x=-1, x=2$.

Знаменатель не равен нулю, поэтому $x \neq -7$ и $x \neq -1$.

Неравенство нестрогое, поэтому корень числителя $x=2$ является решением.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, -7)$, $(-7, -1)$, $(-1, 2]$, $(2, \infty)$, находим, что неравенство выполняется, когда $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 2]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого: $x \in [-10, -2]$.

Решение второго: $x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 2]$.

Найдем пересечение $ [-10, -2] \cap ((-\infty, -7) \cup (-1, 2])$.

Пересечение $[-10, -2]$ с $(-\infty, -7)$ дает $[-10, -7)$.

Пересечение $[-10, -2]$ с $(-1, 2]$ является пустым множеством, так как эти интервалы не пересекаются.

Итоговое решение — это первый найденный интервал.

Ответ: $x \in [-10, -7)$.

2.99 а) $\begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} > 0 \\ x+3 \le 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \le 0 \\ x+2 < 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x+3}{x^2-9} \le 0 \\ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x+1}{x^2-1} \le 0 \\ \frac{x^2-16}{x-4} \ge 0 \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} > 0 \\ x+3 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{(x+2)(x-1)}{x+1} > 0$ методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$; $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Найдем нуль знаменателя (точка разрыва): $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.
Отметим точки -2, -1, 1 на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$.
Определим знаки выражения на каждом интервале:
- на интервале $(1, \infty)$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$;
- на интервале $(-1, 1)$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$;
- на интервале $(-2, -1)$ (например, $x=-1.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$;
- на интервале $(-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Решением неравенства являются интервалы, где выражение больше нуля: $x \in (-2, -1) \cup (1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x+3 \le 0$.
$x \le -3$.
Решением является промежуток $x \in (-\infty, -3]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-2, -1) \cup (1, \infty)$ и $x \in (-\infty, -3]$.
Пересечение этих множеств является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно удовлетворяли бы обоим условиям.
Ответ: $\emptyset$.

б)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \le 0 \\ x+2 < 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \le 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Эти точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Эта точка исключается из решения.
Отметим точки -3, 1, 2 на числовой прямой.
Определим знаки выражения на интервалах:
- на интервале $(2, \infty)$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$;
- на интервале $(1, 2)$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$;
- на интервале $(-3, 1)$: $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$;
- на интервале $(-\infty, -3)$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Решением неравенства являются промежутки, где выражение меньше или равно нулю: $x \in (-\infty, -3] \cup (1, 2]$.

2. Решим второе неравенство: $x+2 < 0$.
$x < -2$.
Решением является промежуток $x \in (-\infty, -2)$.

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -3] \cup (1, 2]$ и $x \in (-\infty, -2)$.
Пересечение $(-\infty, -3]$ с $(-\infty, -2)$ дает $(-\infty, -3]$.
Пересечение $(1, 2]$ с $(-\infty, -2)$ является пустым множеством.
Объединив результаты, получаем итоговое решение системы.
Ответ: $(-\infty, -3]$.

в)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x+3}{x^2-9} \le 0 \\ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{x+3}{x^2-9} \le 0$.
Разложим знаменатель на множители: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
Неравенство принимает вид $\frac{x+3}{(x-3)(x+3)} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2-9 \ne 0$, то есть $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
При $x \ne -3$ можно сократить дробь на $(x+3)$, получив $\frac{1}{x-3} \le 0$. Так как выражение не может быть равно нулю (числитель 1), то $\frac{1}{x-3} < 0$.
Поскольку числитель $1$ положителен, знаменатель должен быть отрицателен: $x-3 < 0 \Rightarrow x < 3$.
С учетом ОДЗ ($x \ne -3$), решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 3)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x^2-4}{x+2} \ge 0$.
Разложим числитель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
Неравенство принимает вид $\frac{(x-2)(x+2)}{x+2} \ge 0$.
ОДЗ: $x+2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.
При $x \ne -2$ можно сократить дробь на $(x+2)$, получив $x-2 \ge 0$.
Отсюда $x \ge 2$.
Решение второго неравенства: $x \in [2, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 3)$ и $x \in [2, \infty)$.
Пересекая эти два множества, получаем $x \in [2, 3)$.
Ответ: $[2, 3)$.

г)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x+1}{x^2-1} \le 0 \\ \frac{x^2-16}{x-4} \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{x+1}{x^2-1} \le 0$.
Разложим знаменатель: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
Неравенство: $\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \le 0$.
ОДЗ: $x^2-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$ и $x \ne -1$.
При $x \ne -1$ сокращаем на $(x+1)$: $\frac{1}{x-1} \le 0$. Так как выражение не может быть равно нулю, то $\frac{1}{x-1} < 0$.
Так как числитель положителен, знаменатель должен быть отрицателен: $x-1 < 0 \Rightarrow x < 1$.
С учетом ОДЗ ($x \ne -1$), решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x^2-16}{x-4} \ge 0$.
Разложим числитель: $x^2-16 = (x-4)(x+4)$.
Неравенство: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4} \ge 0$.
ОДЗ: $x-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.
При $x \ne 4$ сокращаем на $(x-4)$: $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$.
С учетом ОДЗ, решение: $x \in [-4, 4) \cup (4, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1)$ и $x \in [-4, 4) \cup (4, \infty)$.
Пересечение $(-\infty, -1)$ с $[-4, 4) \cup (4, \infty)$ дает $[-4, -1)$.
Пересечение $(-1, 1)$ с $[-4, 4) \cup (4, \infty)$ дает $(-1, 1)$.
Объединяя эти два промежутка, получаем итоговое решение системы.
Ответ: $[-4, -1) \cup (-1, 1)$.

2.100 a) $\begin{cases} x^2 - 3x + 4 < 0 \\ \frac{x^2 - 5x}{x + 3} \ge 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 5x - 14 > 0 \\ \frac{2x^2 + 9x}{x + 9} \le 1,1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{12}{20 + x} + \frac{12}{20 - x} \le \frac{5}{4} \\ x^2 \le 25 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{5 - x} + \frac{39}{25 - x^2} \ge \frac{4 - x}{5 + x} \\ x^2 < 49 \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x + 4 < 0 \\ \frac{x^2 - 5x}{x + 3} \ge 2 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 3x + 4 < 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 4$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 - 3x + 4$ полностью лежит выше оси Ox, то есть выражение $x^2 - 3x + 4$ положительно при любых значениях $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 4 < 0$ не имеет решений.

2. Так как первое неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений, поскольку решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Ответ: нет решений.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + 5x - 14 > 0 \\ \frac{2x^2 + 9x}{x + 9} \le 1,1 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 14 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + 5x - 14$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ за пределами корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{2x^2 + 9x}{x + 9} \le 1,1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -9$.

Перенесем все в левую часть:

$\frac{2x^2 + 9x}{x + 9} - \frac{11}{10} \le 0$

$\frac{10(2x^2 + 9x) - 11(x + 9)}{10(x + 9)} \le 0$

$\frac{20x^2 + 90x - 11x - 99}{10(x + 9)} \le 0$

$\frac{20x^2 + 79x - 99}{x + 9} \le 0$

Найдем корни числителя $20x^2 + 79x - 99 = 0$.

$D = 79^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-99) = 6241 + 7920 = 14161 = 119^2$.

$x_1 = \frac{-79 - 119}{40} = \frac{-198}{40} = -\frac{99}{20} = -4,95$.

$x_2 = \frac{-79 + 119}{40} = \frac{40}{40} = 1$.

Используем метод интервалов. Корни числителя: -4,95 и 1 (входят в решение). Корень знаменателя: -9 (не входит в решение).

На числовой оси отмечаем точки -9, -4,95, 1. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty; -9)$, $(-9; -4,95]$, $[-4,95; 1]$, $[1; +\infty)$.

Определяем знаки выражения $\frac{20x^2 + 79x - 99}{x + 9}$ в каждом интервале. Получаем:

$(-\infty; -9)$: минус

$(-9; -4,95]$: плюс

$[-4,95; 1]$: минус

$[1; +\infty)$: плюс

Нам нужны интервалы со знаком "минус".

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$( (-\infty; -7) \cup (2; +\infty) ) \cap ( (-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1] )$.

Пересечение $(-\infty; -7)$ с $(-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1]$ дает $(-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; -7)$.

Пересечение $(2; +\infty)$ с $(-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; 1]$ является пустым множеством.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup [-\frac{99}{20}; -7)$.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{12}{20+x} + \frac{12}{20-x} \le \frac{5}{4} \\ x^2 \le 25 \end{cases} $$

1. Решим второе неравенство: $x^2 \le 25$.

Это неравенство равносильно $-5 \le x \le 5$.

Решение второго неравенства: $x \in [-5; 5]$.

2. Решим первое неравенство: $\frac{12}{20+x} + \frac{12}{20-x} \le \frac{5}{4}$.

ОДЗ: $x \neq -20$ и $x \neq 20$. Условие $x \in [-5; 5]$ удовлетворяет ОДЗ.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{12(20-x) + 12(20+x)}{(20+x)(20-x)} \le \frac{5}{4}$

$\frac{240 - 12x + 240 + 12x}{400 - x^2} \le \frac{5}{4}$

$\frac{480}{400 - x^2} \le \frac{5}{4}$

Для $x \in [-5; 5]$, значение $x^2$ находится в диапазоне $[0; 25]$. Следовательно, знаменатель $400 - x^2$ всегда положителен (от $400-25=375$ до $400-0=400$). Поэтому можно умножить обе части неравенства на $4(400 - x^2)$ без изменения знака неравенства.

$4 \cdot 480 \le 5(400 - x^2)$

$1920 \le 2000 - 5x^2$

$5x^2 \le 2000 - 1920$

$5x^2 \le 80$

$x^2 \le 16$

Решение этого неравенства: $-4 \le x \le 4$, то есть $x \in [-4; 4]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$[-5; 5] \cap [-4; 4] = [-4; 4]$.

Ответ: $x \in [-4; 4]$.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{1}{5-x} + \frac{39}{25-x^2} \ge \frac{4-x}{5+x} \\ x^2 < 49 \end{cases} $$

1. Решим второе неравенство: $x^2 < 49$.

Это неравенство равносильно $-7 < x < 7$.

Решение второго неравенства: $x \in (-7; 7)$.

2. Решим первое неравенство: $\frac{1}{5-x} + \frac{39}{25-x^2} \ge \frac{4-x}{5+x}$.

ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю $(5-x)(5+x) = 25 - x^2$:

$\frac{1}{5-x} + \frac{39}{(5-x)(5+x)} - \frac{4-x}{5+x} \ge 0$

$\frac{1(5+x) + 39 - (4-x)(5-x)}{(5-x)(5+x)} \ge 0$

$\frac{5+x+39 - (20-4x-5x+x^2)}{(5-x)(5+x)} \ge 0$

$\frac{44+x - (x^2-9x+20)}{(5-x)(5+x)} \ge 0$

$\frac{44+x-x^2+9x-20}{25-x^2} \ge 0$

$\frac{-x^2+10x+24}{25-x^2} \ge 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, знак дроби не изменится:

$\frac{x^2-10x-24}{x^2-25} \ge 0$

$\frac{(x-12)(x+2)}{(x-5)(x+5)} \ge 0$

Используем метод интервалов. Корни числителя: 12 и -2. Корни знаменателя: 5 и -5.

Отмечаем на числовой оси точки -5, -2, 5, 12. Точки -2 и 12 закрашенные, -5 и 5 выколотые.

Определяем знаки выражения в интервалах:

$(-\infty; -5)$: плюс

$(-5; -2]$: минус

$[-2; 5)$: плюс

$(5; 12]$: минус

$[12; +\infty)$: плюс

Нам нужны интервалы со знаком "плюс".

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup [-2; 5) \cup [12; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений:

$(-7; 7) \cap ( (-\infty; -5) \cup [-2; 5) \cup [12; +\infty) )$.

Пересечение с $(-\infty; -5)$ дает $(-7; -5)$.

Пересечение с $[-2; 5)$ дает $[-2; 5)$.

Пересечение с $[12; +\infty)$ пусто.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-7; -5) \cup [-2; 5)$.