Страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.80° Как решают нестрогие неравенства?

Нестрогие неравенства — это неравенства, которые содержат знаки «больше или равно» ($\ge$) или «меньше или равно» ($\le$). В отличие от строгих неравенств ($>$ или $<$), они допускают возможность равенства.

Решение нестрогого неравенства, например, вида $f(x) \ge 0$, сводится к нахождению всех значений $x$, при которых выражение $f(x)$ либо положительно ($f(x) > 0$), либо равно нулю ($f(x) = 0$). Таким образом, множество решений нестрогого неравенства является объединением множества решений соответствующего строгого неравенства и множества решений соответствующего уравнения.

Наиболее универсальным методом решения нестрогих неравенств является метод интервалов. Алгоритм решения следующий:

1. Привести неравенство к виду $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$.
2. Найти область определения функции $f(x)$.
3. Найти нули функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x) = 0$.
4. Нанести на числовую ось нули функции и точки, в которых функция не определена (если такие есть).
   • Нули функции, удовлетворяющие области определения, отмечаются закрашенными (сплошными) точками, так как в этих точках неравенство обращается в верное равенство $0=0$.
   • Точки, в которых функция не определена (например, нули знаменателя в дробно-рациональных неравенствах), всегда отмечаются выколотыми (пустыми) точками, так как они не входят в решение.
5. Определить знаки функции $f(x)$ в каждом из получившихся интервалов. Для этого достаточно подставить в $f(x)$ любое число из каждого интервала.
6. Выбрать интервалы, которые соответствуют знаку неравенства. Если неравенство имеет вид $f(x) \ge 0$, выбираем интервалы со знаком «+». Если $f(x) \le 0$ — интервалы со знаком «−».
7. Записать ответ, включая в него концы интервалов, отмеченные закрашенными точками (используя квадратные скобки $[, ]$), и исключая концы, отмеченные выколотыми точками (используя круглые скобки $(, )$).

Пример 1: Решение квадратного неравенства

Решим неравенство $x^2 - x - 6 \le 0$.

1. Находим нули функции $f(x) = x^2 - x - 6$, решая уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

2. Отмечаем эти корни на числовой оси закрашенными точками, так как неравенство нестрогое ($\le$). Они разделяют ось на три интервала.

3. Определяем знаки выражения $x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)$ в интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$ и $(3, \infty)$.

• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3-3) = (-1)(-6) = 6 > 0$. Ставим знак «+».
• При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $(0+2)(0-3) = (2)(-3) = -6 < 0$. Ставим знак «−».
• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4+2)(4-3) = (6)(1) = 6 > 0$. Ставим знак «+».

4. Так как нам нужно найти, где $x^2 - x - 6 \le 0$, выбираем интервал со знаком «−». Поскольку точки -2 и 3 закрашены, они включаются в ответ.

Ответ: $x \in [-2, 3]$.

Пример 2: Решение дробно-рационального неравенства

Решим неравенство $\frac{x-5}{x+1} \ge 0$.

1. Находим нуль числителя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$. Это корень функции, он будет отмечен закрашенной точкой.

2. Находим нуль знаменателя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$. В этой точке функция не определена. Она всегда отмечается выколотой точкой, независимо от знака неравенства.

3. Отмечаем точки на числовой оси: -1 (выколотая) и 5 (закрашенная). Определяем знаки в интервалах.

• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2-5}{-2+1} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$. Знак «+».
• При $-1 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0-5}{0+1} = -5 < 0$. Знак «−».
• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6-5}{6+1} = \frac{1}{7} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно, чтобы выражение было $\ge 0$. Выбираем интервалы со знаком «+». Точка $x=5$ включается в решение (квадратная скобка), а точка $x=-1$ исключается (круглая скобка).

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [5, \infty)$.

Ответ:
Для решения нестрогого неравенства (вида $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$) необходимо найти все значения переменной, при которых соответствующее равенство $f(x)=0$ является верным, а также все значения, при которых верным является соответствующее строгое неравенство ($f(x)>0$ или $f(x)<0$). На практике это удобнее всего делать с помощью метода интервалов, где нули функции (кроме нулей знаменателя) включаются в итоговый ответ. Это означает, что на числовой оси они отмечаются закрашенными точками, а в записи ответа для них используются квадратные скобки. Нули знаменателя всегда исключаются из ответа (отмечаются выколотыми точками, для них используются круглые скобки), так как в этих точках выражение не имеет смысла.

2.81 Проверьте, является ли число 1 решением неравенства:

а) $3x - 1 \ge 0;$

б) $3x - 5 \ge 0;$

в) $2x - 2 \le 0;$

г) $\frac{5x + 2}{x - 5} \le 0;$

д) $\frac{1 - x}{x + 1} \ge 0;$

е) $\frac{x^2 - 1}{x - 1} \le 0.$

Чтобы проверить, является ли число 1 решением неравенства, нужно подставить это значение вместо переменной $x$ в каждое неравенство и проверить, выполняется ли полученное числовое неравенство.

а) $3x - 1 \ge 0$

Подставляем $x = 1$ в неравенство:
$3 \cdot 1 - 1 \ge 0$
$3 - 1 \ge 0$
$2 \ge 0$
Полученное неравенство является верным. Следовательно, число 1 является решением данного неравенства.
Ответ: является.

б) $3x - 5 \ge 0$

Подставляем $x = 1$ в неравенство:
$3 \cdot 1 - 5 \ge 0$
$3 - 5 \ge 0$
$-2 \ge 0$
Полученное неравенство является неверным. Следовательно, число 1 не является решением данного неравенства.
Ответ: не является.

в) $2x - 2 \le 0$

Подставляем $x = 1$ в неравенство:
$2 \cdot 1 - 2 \le 0$
$2 - 2 \le 0$
$0 \le 0$
Полученное неравенство является верным (так как $0 = 0$). Следовательно, число 1 является решением данного неравенства.
Ответ: является.

г) $\frac{5x + 2}{x - 5} \le 0$

Подставляем $x = 1$ в неравенство. При $x=1$ знаменатель $1-5 = -4 \ne 0$, поэтому подстановка возможна.
$\frac{5 \cdot 1 + 2}{1 - 5} \le 0$
$\frac{5 + 2}{-4} \le 0$
$\frac{7}{-4} \le 0$
$-1.75 \le 0$
Полученное неравенство является верным. Следовательно, число 1 является решением данного неравенства.
Ответ: является.

д) $\frac{1 - x}{x + 1} \ge 0$

Подставляем $x = 1$ в неравенство. При $x=1$ знаменатель $1+1 = 2 \ne 0$, поэтому подстановка возможна.
$\frac{1 - 1}{1 + 1} \ge 0$
$\frac{0}{2} \ge 0$
$0 \ge 0$
Полученное неравенство является верным (так как $0 = 0$). Следовательно, число 1 является решением данного неравенства.
Ответ: является.

е) $\frac{x^2 - 1}{x - 1} \le 0$

Чтобы проверить, является ли число 1 решением, необходимо подставить его в неравенство. Однако, при подстановке $x = 1$ в знаменатель дроби, мы получаем:
$1 - 1 = 0$
Деление на ноль является недопустимой операцией. Это означает, что число 1 не входит в область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ для данного неравенства. Следовательно, число 1 не может быть его решением.
Ответ: не является.

Решите неравенство (2.82–2.92):

2.82 a) $2x - 3 \le 0;$

б) $4x - 3 \ge 0;$

в) $5x - 8 \ge 3x - 1;$

г) $2x - 4 \le 4x - 3.$

а) $2x - 3 \le 0$

Чтобы решить это линейное неравенство, сначала перенесем свободный член (-3) из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный.

$2x \le 3$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной $x$, то есть на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$\frac{2x}{2} \le \frac{3}{2}$

$x \le 1.5$

Решение неравенства представляет собой числовой промежуток от минус бесконечности до 1.5, включая 1.5.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$

б) $4x - 3 \ge 0$

Перенесем свободный член (-3) в правую часть, изменив знак на противоположный.

$4x \ge 3$

Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется, так как 4 - положительное число.

$\frac{4x}{4} \ge \frac{3}{4}$

$x \ge 0.75$

Решение неравенства - это числовой промежуток от 0.75 до плюс бесконечности, включая 0.75.

Ответ: $x \in [0.75; +\infty)$

в) $5x - 8 \ge 3x - 1$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены - в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$5x - 3x \ge -1 + 8$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.

$2x \ge 7$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства остается прежним.

$\frac{2x}{2} \ge \frac{7}{2}$

$x \ge 3.5$

Решение неравенства - это числовой промежуток от 3.5 до плюс бесконечности, включая 3.5.

Ответ: $x \in [3.5; +\infty)$

г) $2x - 4 \le 4x - 3$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в одну часть, а числа - в другую. Например, перенесем $2x$ вправо, а -3 влево.

$-4 + 3 \le 4x - 2x$

Выполним вычисления в обеих частях.

$-1 \le 2x$

Теперь разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется.

$-\frac{1}{2} \le x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде: $x \ge -0.5$.

Решение неравенства - это числовой промежуток от -0.5 до плюс бесконечности, включая -0.5.

Ответ: $x \in [-0.5; +\infty)$

2.83 a) $(x - 2)(x + 3) \geq 0;$

Б) $(x - 2)(x + 3) \leq 0;$

В) $(x - 4)(x + 3) \leq 0;$

Г) $(x + 4)(x - 3) \geq 0.$

а) Решим неравенство $(x - 2)(x + 3) \ge 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули левой части неравенства, решив уравнение:
$(x - 2)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
2. Отметим найденные корни на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $-3$ и $2$ включаются в решение. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x - 2)(x + 3)$ в каждом из интервалов, подставляя произвольное значение из каждого интервала:
- Для интервала $(2; +\infty)$, возьмём $x = 3$: $(3 - 2)(3 + 3) = 1 \cdot 6 = 6$. Знак `+`.
- Для интервала $(-3; 2)$, возьмём $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 3) = -2 \cdot 3 = -6$. Знак `-`.
- Для интервала $(-\infty; -3)$, возьмём $x = -4$: $(-4 - 2)(-4 + 3) = (-6) \cdot (-1) = 6$. Знак `+`.
4. Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно (имеет знак `+` или равно 0). Это объединение двух промежутков: $(-\infty; -3]$ и $[2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 2)(x + 3) \le 0$.
Выражение в левой части то же, что и в пункте а). Корни уравнения $(x - 2)(x + 3) = 0$ также $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Используем результаты анализа знаков из предыдущего пункта: знаки на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$ будут `+`, `-`, `+` соответственно.
В данном случае нас интересуют промежутки, где выражение не положительно (имеет знак `-` или равно 0), так как неравенство имеет вид $\le 0$.
Это соответствует промежутку между корнями. Поскольку неравенство нестрогое, концы промежутка $[-3, 2]$ включаются в решение.
Ответ: $x \in [-3; 2]$.

в) Решим неравенство $(x - 4)(x + 3) \le 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули левой части неравенства:
$(x - 4)(x + 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
2. Отметим корни $-3$ и $4$ на числовой оси. Точки включаются в решение (неравенство нестрогое, $\le$). Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x - 4)(x + 3)$ в каждом из интервалов:
- Для интервала $(4; +\infty)$, возьмём $x = 5$: $(5 - 4)(5 + 3) = 1 \cdot 8 = 8$. Знак `+`.
- Для интервала $(-3; 4)$, возьмём $x = 0$: $(0 - 4)(0 + 3) = -4 \cdot 3 = -12$. Знак `-`.
- Для интервала $(-\infty; -3)$, возьмём $x = -4$: $(-4 - 4)(-4 + 3) = (-8) \cdot (-1) = 8$. Знак `+`.
4. Нас интересует промежуток, где выражение не положительно (знак `-` или равно 0). Это промежуток $[-3; 4]$.
Ответ: $x \in [-3; 4]$.

г) Решим неравенство $(x + 4)(x - 3) \ge 0$ методом интервалов.
1. Найдём нули левой части неравенства:
$(x + 4)(x - 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.
2. Отметим корни $-4$ и $3$ на числовой оси. Точки включаются в решение (неравенство нестрогое, $\ge$). Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 3)$ и $(3; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x + 4)(x - 3)$ в каждом из интервалов:
- Для интервала $(3; +\infty)$, возьмём $x = 4$: $(4 + 4)(4 - 3) = 8 \cdot 1 = 8$. Знак `+`.
- Для интервала $(-4; 3)$, возьмём $x = 0$: $(0 + 4)(0 - 3) = 4 \cdot (-3) = -12$. Знак `-`.
- Для интервала $(-\infty; -4)$, возьмём $x = -5$: $(-5 + 4)(-5 - 3) = (-1) \cdot (-8) = 8$. Знак `+`.
4. Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно (знак `+` или равно 0). Это объединение двух промежутков: $(-\infty; -4]$ и $[3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$.

2.84 a) $x^2 - 12x + 32 \le 0$;

Б) $x^2 + 8x - 12 \le 0$;

В) $2x^2 + x - 7 \ge 0$;

Г) $3x^2 - 5x - 1 \le 0$.

а) $x^2 - 12x + 32 \le 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 32 = 0$.

Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 32. Легко подобрать корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 8$.

Можно также вычислить дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4$; $x_2 = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 12x + 32$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 12x + 32 \le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это промежуток между корнями, включая сами корни.

Ответ: $[4; 8]$.

б) $x^2 + 8x - 12 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 + 48 = 112$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{7}$.

Таким образом, $x_1 = -4 - 2\sqrt{7}$ и $x_2 = -4 + 2\sqrt{7}$.

Парабола $y = x^2 + 8x - 12$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями включительно.

Ответ: $[-4 - 2\sqrt{7}; -4 + 2\sqrt{7}]$.

в) $2x^2 + x - 7 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 1 + 56 = 57$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{4}$.

Парабола $y = 2x^2 + x - 7$ имеет ветви, направленные вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется на тех промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Это промежутки левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{57}}{4}; +\infty)$.

г) $3x^2 - 5x - 1 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 5x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 25 + 12 = 37$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}$.

Парабола $y = 3x^2 - 5x - 1$ имеет ветви, направленные вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $[\frac{5 - \sqrt{37}}{6}; \frac{5 + \sqrt{37}}{6}]$.

2.85 a) $-x^2 + 2x - 1 \ge 0;$

б) $-x^2 + 4x - 4 \le 0;$

В) $3x^2 + 18x + 27 \le 0;$

Г) $2x^2 - 20x + 50 \ge 0.$

а) Решим неравенство $-x^2 + 2x - 1 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 - 2x + 1 \le 0$ Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом разности: $(x - 1)^2 \le 0$ Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$. Следовательно, неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ выполняется только в том случае, когда левая часть равна нулю: $(x - 1)^2 = 0$ $x - 1 = 0$ $x = 1$
Ответ: 1.

б) Решим неравенство $-x^2 + 4x - 4 \le 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4x + 4 \ge 0$ Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности: $(x - 2)^2 \ge 0$ Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Данное неравенство верно при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $3x^2 + 18x + 27 \le 0$. Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не меняется): $x^2 + 6x + 9 \le 0$ Левая часть является полным квадратом суммы: $(x + 3)^2 \le 0$ Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ($(x + 3)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только при условии, что левая часть равна нулю: $(x + 3)^2 = 0$ $x + 3 = 0$ $x = -3$
Ответ: -3.

г) Решим неравенство $2x^2 - 20x + 50 \ge 0$. Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не меняется): $x^2 - 10x + 25 \ge 0$ Свернем левую часть по формуле полного квадрата разности: $(x - 5)^2 \ge 0$ Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство справедливо для любого значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2.86 a) $x^2 - 3x + 5 \ge 0$;

В) $8x^2 - x + 1 \le 0$;

б) $x^2 + 7x + 10 \le 0$;

Г) $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$.

а) $x^2 - 3x + 5 \ge 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую функцию $y = x^2 - 3x + 5$. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 5 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 - 3x + 5$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Таким образом, неравенство $x^2 - 3x + 5 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $x^2 + 7x + 10 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 7x + 10$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$, чтобы найти точки пересечения параболы с осью Ox.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -5$ и $x = -2$. Поскольку ветви направлены вверх, функция принимает отрицательные или равные нулю значения на промежутке между корнями. Неравенство является нестрогим ($\le$), поэтому сами корни включаются в решение.

Ответ: $x \in [-5; -2]$.

в) $8x^2 - x + 1 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = 8x^2 - x + 1$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх ($a=8 > 0$).

Найдем корни уравнения $8x^2 - x + 1 = 0$, вычислив дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 1 - 32 = -31$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх, она целиком расположена в верхней полуплоскости. Это означает, что выражение $8x^2 - x + 1$ всегда строго положительно.

Поскольку неравенство требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю, а оно всегда больше нуля, то решений у данного неравенства нет.

Ответ: решений нет (или $x \in \varnothing$).

г) $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Рассмотрим функцию $y = 4x^2 - 5x + 6$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$).

Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 25 - 96 = -71$.

Дискриминант $D < 0$, следовательно, у уравнения нет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox. Так как ее ветви направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox, и значение выражения $4x^2 - 5x + 6$ всегда положительно.

Таким образом, неравенство $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2.87 a) $(x - 1)(x - 2)(x - 3) \geq 0;$

Б) $(x - 2)(x + 2)(x - 3) \leq 0;$

В) $(x + 1)(x + 2)(x + 3) \leq 0;$

Г) $(x^2 - 4)(x + 5) \geq 0;$

Д) $(x^2 + 2x + 1)(x - 1) \leq 0;$

е) $(x^2 - 6x + 9)(x - 2) \geq 0.$

а)

Решим неравенство $(x-1)(x-2)(x-3) \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю: $(x-1)(x-2)(x-3) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале. Для крайнего правого интервала $(3; +\infty)$ возьмем пробную точку, например $x=4$: $(4-1)(4-2)(4-3) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно.

Поскольку все корни имеют кратность 1 (нечетную), при переходе через каждый корень знак выражения будет меняться. Таким образом, знаки на интервалах чередуются: `+` на $(3; +\infty)$, `-` на $(2; 3)$, `+` на $(1; 2)$, `-` на $(-\infty; 1)$.

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует интервалам со знаком «+» и самим корням.

Следовательно, решением является объединение промежутков $[1; 2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [1; 2] \cup [3; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(x-2)(x+2)(x-3) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни выражения в левой части: $(x-2)(x+2)(x-3) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = -2$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

2. Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -2, 2, 3. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, взяв $x=4$: $(4-2)(4+2)(4-3) = 2 \cdot 6 \cdot 1 = 12 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки на интервалах чередуются: `-`, `+`, `-`, `+` (справа налево).

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалам со знаком «-» и самим корням.

Решением является объединение промежутков $(-\infty; -2]$ и $[2; 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; 3]$.

в)

Решим неравенство $(x+1)(x+2)(x+3) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни левой части: $(x+1)(x+2)(x+3) = 0$.

Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -2$, $x_3 = -1$.

2. Отметим корни на числовой прямой: -3, -2, -1. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(-1; +\infty)$, взяв $x=0$: $(0+1)(0+2)(0+3) = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: `-`, `+`, `-`, `+` (справа налево).

4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервалы со знаком «-» и включаем корни.

Решением является объединение промежутков $(-\infty; -3]$ и $[-2; -1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-2; -1]$.

г)

Решим неравенство $(x^2-4)(x+5) \ge 0$.

1. Сначала разложим на множители выражение $x^2-4$ по формуле разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)(x+2)(x+5) \ge 0$.

2. Найдем корни: $(x-2)(x+2)(x+5) = 0$. Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -2$, $x_3 = 2$.

3. Отметим корни на числовой прямой: -5, -2, 2. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

4. Определим знак в крайнем правом интервале $(2; +\infty)$, взяв $x=3$: $(3-2)(3+2)(3+5) = 1 \cdot 5 \cdot 8 = 40 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: `-`, `+`, `-`, `+` (справа налево).

5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем корни.

Решением является объединение промежутков $[-5; -2]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5; -2] \cup [2; +\infty)$.

д)

Решим неравенство $(x^2+2x+1)(x-1) \le 0$.

1. Заметим, что $x^2+2x+1$ является полным квадратом: $x^2+2x+1 = (x+1)^2$.

Неравенство принимает вид: $(x+1)^2(x-1) \le 0$.

2. Найдем корни: $(x+1)^2(x-1) = 0$. Корни: $x_1 = -1$ (кратность 2) и $x_2 = 1$ (кратность 1).

3. Отметим корни на числовой прямой: -1, 1. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4. Определим знаки. В интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x=2$) выражение $(2+1)^2(2-1) > 0$. Знак «+».

При переходе через корень $x=1$ (нечетной кратности) знак меняется на «-». На интервале $(-1; 1)$ знак «-».

При переходе через корень $x=-1$ (четной кратности) знак не меняется. На интервале $(-\infty; -1)$ знак также «-».

5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-», а также сами корни $x=-1$ и $x=1$.

Интервалы $(-\infty; -1)$ и $(-1; 1)$ вместе с точками $x=-1$ и $x=1$ образуют единый промежуток $(-\infty; 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

е)

Решим неравенство $(x^2-6x+9)(x-2) \ge 0$.

1. Выражение $x^2-6x+9$ является полным квадратом: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$.

Неравенство принимает вид: $(x-3)^2(x-2) \ge 0$.

2. Найдем корни: $(x-3)^2(x-2) = 0$. Корни: $x_1 = 2$ (кратность 1) и $x_2 = 3$ (кратность 2).

3. Отметим корни на числовой прямой: 2, 3. Интервалы: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

4. Определим знаки. В интервале $(3; +\infty)$ (например, при $x=4$) выражение $(4-3)^2(4-2) > 0$. Знак «+».

При переходе через корень $x=3$ (четной кратности) знак не меняется. На интервале $(2; 3)$ знак также «+».

При переходе через корень $x=2$ (нечетной кратности) знак меняется на «-». На интервале $(-\infty; 2)$ знак «-».

5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это интервалы со знаком «+», а также сами корни $x=2$ и $x=3$.

Интервалы $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$ вместе с точками $x=2$ и $x=3$ образуют единый промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

2.88* a) $(x^2 - 1)(x + 3) \ge 0;$

Б) $(4 - x^2)(7 - x) \le 0;$

б) $(12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) \ge 0;$

г) $(x^2 - 5x + 6)(x - 3) \le 0.$

а) $(x^2 - 1)(x + 3) \ge 0$

Сначала разложим на множители выражение в левой части неравенства. Используем формулу разности квадратов для $(x^2 - 1)$:

$(x - 1)(x + 1)(x + 3) \ge 0$

Далее решим неравенство методом интервалов. Найдем нули (корни) левой части, приравняв ее к нулю:

$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = -3$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале. Все корни имеют кратность 1 (нечетную), поэтому знак будет чередоваться.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=2$: $(2 - 1)(2 + 1)(2 + 3) = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15 > 0$. Значит, на интервале $(1, +\infty)$ выражение положительно.

Двигаясь справа налево, знаки на интервалах будут: $(+), (-), (+), (-)$.

$(-\infty; -3)$: $-$

$(-3; -1)$: $+$

$(-1; 1)$: $-$

$(1; +\infty)$: $+$

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это промежутки со знаком «+», включая их концы, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in [-3, -1] \cup [1, +\infty)$.

б) $(12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) \ge 0$

Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $(x - 2)^2$.

Неравенство можно переписать в виде:

$(12 - 5x)(x - 2)^2 \ge 0$

Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Рассмотрим два случая:

1. $(x - 2)^2 = 0$. Это происходит при $x = 2$. В этом случае все выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $0 \ge 0$. Таким образом, $x = 2$ является решением.

2. $(x - 2)^2 > 0$. Это выполняется для всех $x$, кроме $x=2$. В этом случае, чтобы произведение было неотрицательным, множитель $(12 - 5x)$ должен быть неотрицательным:

$12 - 5x \ge 0$

$12 \ge 5x$

$x \le \frac{12}{5}$

$x \le 2.4$

Объединяя оба случая, получаем, что решением является множество $x \le 2.4$. Это множество уже включает в себя точку $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2.4]$.

в) $(4 - x^2)(7 - x) \le 0$

Разложим на множители левую часть неравенства:

$(2 - x)(2 + x)(7 - x) \le 0$

Для удобства использования метода интервалов приведем множители к виду $(x-a)$, вынеся знак «-» из скобок $(2 - x)$ и $(7 - x)$:

$-(x - 2)(x + 2)(-(x - 7)) \le 0$

Произведение двух минусов дает плюс, поэтому неравенство эквивалентно следующему:

$(x + 2)(x - 2)(x - 7) \le 0$

Нули левой части: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$, $x_3 = 7$.

Отметим точки на числовой оси и определим знаки на интервалах. Для $x > 7$ все множители положительны, значит, на крайнем правом интервале знак «+». Все корни нечетной кратности, поэтому знаки чередуются.

$(-\infty; -2)$: $-$

$(-2; 2)$: $+$

$(2; 7)$: $-$

$(7; +\infty)$: $+$

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это промежутки со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, 7]$.

г) $(x^2 - 5x + 6)(x - 3) \le 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(x - 2)(x - 3)(x - 3) \le 0$

$(x - 2)(x - 3)^2 \le 0$

Множитель $(x - 3)^2$ всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая:

1. $(x - 3)^2 = 0$. Это происходит при $x = 3$. В этом случае левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию $0 \le 0$. Значит, $x = 3$ является решением.

2. $(x - 3)^2 > 0$. Это выполняется для всех $x$, кроме $x=3$. В этом случае, чтобы произведение было неположительным, множитель $(x - 2)$ должен быть неположительным:

$x - 2 \le 0$

$x \le 2$

Объединяя оба случая, получаем, что решением является промежуток $(-\infty, 2]$ и изолированная точка $x=3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup \{3\}$.

2.89* a) $(x-1)(x-2)^2 \le 0;$

б) $(x+1)(x+2)^2 \ge 0;$

В) $(x^2+2x+1)(x-1) \ge 0;$

Г) $(x^2-6x+9)(x-2) \le 0;$

Д) $(x^2-4x+3)(x^2-1) \ge 0;$

е) $(x^2-3x+2)(x^2-4) \le 0.$

а) $(x - 1)(x - 2)^2 \le 0$

Для решения данного неравенства используем метод интервалов.
Сначала найдем корни левой части неравенства, приравняв ее к нулю:
$(x - 1)(x - 2)^2 = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$(x - 2)^2 = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Корень $x = 2$ имеет кратность 2 (четная степень), что означает, что при переходе через эту точку на числовой оси знак выражения меняться не будет. Корень $x=1$ имеет кратность 1 (нечетная степень), знак будет меняться.

Отметим корни на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; \infty)$.

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(3 - 1)(3 - 2)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 > 0$. Знак "+".
• При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $(1.5 - 1)(1.5 - 2)^2 = 0.5 \cdot (-0.5)^2 = 0.125 > 0$. Знак "+". (Знак не изменился при переходе через корень $x=2$).
• При $x < 1$ (например, $x=0$): $(0 - 1)(0 - 2)^2 = -1 \cdot 4 = -4 < 0$. Знак "-". (Знак изменился при переходе через корень $x=1$).

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю ($\le 0$). Это выполняется на интервале, где знак "-", а также в точках, где выражение равно нулю.
Таким образом, решением является интервал $(-\infty, 1]$ и изолированная точка $x=2$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\}$.

б) $(x + 1)(x + 2)^2 \ge 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни левой части:
$(x + 1)(x + 2)^2 = 0$
$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$
$(x + 2)^2 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Корень $x=-2$ имеет четную кратность (2), а корень $x=-1$ — нечетную (1).

Отметим корни на числовой оси: -2 и -1. Определим знаки на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; \infty)$.

• При $x > -1$ (например, $x=0$): $(0 + 1)(0 + 2)^2 = 1 \cdot 4 = 4 > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-1.5 + 1)(-1.5 + 2)^2 = -0.5 \cdot 0.5^2 = -0.125 < 0$. Знак "-".
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3 + 1)(-3 + 2)^2 = -2 \cdot (-1)^2 = -2 < 0$. Знак "-".

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю ($\ge 0$). Это выполняется на интервале, где знак "+", и в точках, где выражение равно нулю.
Решением является интервал $[-1, \infty)$ и изолированная точка $x=-2$.
Ответ: $x \in \{-2\} \cup [-1, \infty)$.

в) $(x^2 + 2x + 1)(x - 1) \ge 0$

Сначала упростим выражение в первой скобке. Заметим, что это полный квадрат:
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
Неравенство принимает вид:
$(x + 1)^2 (x - 1) \ge 0$

Это неравенство аналогично предыдущему. Найдем корни:
$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$ (четная кратность 2)
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ (нечетная кратность 1)

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2 + 1)^2 (2 - 1) = 9 \cdot 1 = 9 > 0$. Знак "+".
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0 + 1)^2 (0 - 1) = 1 \cdot (-1) = -1 < 0$. Знак "-".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2 + 1)^2 (-2 - 1) = (-1)^2 \cdot (-3) = -3 < 0$. Знак "-".

Выражение должно быть больше или равно нулю ($\ge 0$). Это выполняется на интервале $[1, \infty)$ и в точке $x=-1$.
Ответ: $x \in \{-1\} \cup [1, \infty)$.

г) $(x^2 - 6x + 9)(x - 2) \le 0$

Выражение в первой скобке является полным квадратом:
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
Неравенство принимает вид:
$(x - 3)^2 (x - 2) \le 0$

Найдем корни:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$ (четная кратность 2)
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$ (нечетная кратность 1)

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4 - 3)^2 (4 - 2) = 1^2 \cdot 2 = 2 > 0$. Знак "+".
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $(2.5 - 3)^2 (2.5 - 2) = (-0.5)^2 \cdot 0.5 > 0$. Знак "+".
• При $x < 2$ (например, $x=0$): $(0 - 3)^2 (0 - 2) = 9 \cdot (-2) = -18 < 0$. Знак "-".

Выражение должно быть меньше или равно нулю ($\le 0$). Это выполняется на интервале $(-\infty, 2]$ и в точке $x=3$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup \{3\}$.

д) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 1) \ge 0$

Разложим на множители каждый из квадратных трехчленов.
Для $x^2 - 4x + 3 = 0$, корни по теореме Виета $x_1 = 1, x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
Для $x^2 - 1$, по формуле разности квадратов $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим в неравенство:
$(x - 1)(x - 3)(x - 1)(x + 1) \ge 0$
$(x + 1)(x - 1)^2 (x - 3) \ge 0$

Найдем корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$ (четная кратность 2), $x_3 = 3$.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4+1)(4-1)^2(4-3) > 0$. Знак "+".
• При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $(2+1)(2-1)^2(2-3) < 0$. Знак "-".
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+1)(0-1)^2(0-3) < 0$. Знак "-".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2+1)(-2-1)^2(-2-3) > 0$. Знак "+".

Нам нужно, чтобы выражение было $\ge 0$. Решением будут интервалы со знаком "+" и корни уравнения.
Интервалы: $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$. Также корень $x=1$ является решением, так как в этой точке выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup \{1\} \cup [3, \infty)$.

е) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 4) \le 0$

Разложим на множители.
Для $x^2 - 3x + 2 = 0$, корни $x_1 = 1, x_2 = 2$. Тогда $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
Для $x^2 - 4 = 0$, корни $x_1 = 2, x_2 = -2$. Тогда $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Подставим в неравенство:
$(x - 1)(x - 2)(x - 2)(x + 2) \le 0$
$(x + 2)(x - 1)(x - 2)^2 \le 0$

Найдем корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$ (четная кратность 2).

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(3+2)(3-1)(3-2)^2 > 0$. Знак "+".
• При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $(1.5+2)(1.5-1)(1.5-2)^2 > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+2)(0-1)(0-2)^2 < 0$. Знак "-".
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3-1)(-3-2)^2 > 0$. Знак "+".

Нам нужно, чтобы выражение было $\le 0$. Решением будет интервал со знаком "-" и корни уравнения.
Интервал: $[-2, 1]$. Корень $x=2$ также является решением.
Ответ: $x \in [-2, 1] \cup \{2\}$.

2.90 а) $\frac{1}{x-1} \ge 0;$

б) $\frac{5}{2-x} \le 0;$

в) $\frac{x-8}{2x+3} \ge 0;$

г) $\frac{3-4x}{5+x} \le 0.$

а) Решим неравенство $\frac{1}{x-1} \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием, что знаменатель не равен нулю:
$x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
Числитель дроби равен 1, что является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть положительным. Так как числитель не равен нулю, то и вся дробь не может быть равна нулю, поэтому знак неравенства становится строгим.
Таким образом, неравенство сводится к следующему:
$x - 1 > 0$
$x > 1$
Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{5}{2-x} \le 0$.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю.
$2 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$.
Числитель дроби равен 5, что является положительным числом. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным. Равенство нулю невозможно, так как числитель отличен от нуля.
Следовательно, решаем неравенство:
$2 - x < 0$
$2 < x$
Или $x > 2$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x-8}{2x+3} \ge 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули числителя:
$x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка включается в решение (на числовой оси она будет закрашенной).
2. Найдем нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено):
$2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -1.5$.
Эта точка всегда исключается из решения (на числовой оси она будет выколотой).
3. Отметим точки $x = -1.5$ и $x = 8$ на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 8)$ и $(8; +\infty)$.
4. Определим знак выражения на каждом интервале, подставив в него любое значение из этого интервала:
- Для интервала $(8; +\infty)$, возьмем $x=10$: $\frac{10-8}{2 \cdot 10+3} = \frac{2}{23} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-1.5; 8)$, возьмем $x=0$: $\frac{0-8}{2 \cdot 0+3} = -\frac{8}{3} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-\infty; -1.5)$, возьмем $x=-2$: $\frac{-2-8}{2(-2)+3} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и точка, где числитель равен нулю.
Получаем объединение интервалов: $(-\infty; -1.5)$ и $[8; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup [8; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{3-4x}{5+x} \le 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули числителя:
$3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$.
Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка включается в решение.
2. Найдем нули знаменателя:
$5 + x = 0 \Rightarrow x = -5$.
Эта точка исключается из решения.
3. Отметим точки $x = -5$ и $x = \frac{3}{4}$ на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; \frac{3}{4})$ и $(\frac{3}{4}; +\infty)$.
4. Определим знак выражения на каждом интервале:
- Для интервала $(\frac{3}{4}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{3-4(1)}{5+1} = \frac{-1}{6} < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-5; \frac{3}{4})$, возьмем $x=0$: $\frac{3-4(0)}{5+0} = \frac{3}{5} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-\infty; -5)$, возьмем $x=-10$: $\frac{3-4(-10)}{5-10} = \frac{43}{-5} < 0$. Знак "-".
5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "-" и точка, где числитель равен нулю.
Получаем объединение интервалов: $(-\infty; -5)$ и $[\frac{3}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [\frac{3}{4}; +\infty)$.

2.91* а) $ \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \ge 0; $

б) $ \frac{x^2 - 7x + 10}{25 - x^2} \le 0; $

в) $ 1 - x \ge \frac{1}{x - 3}; $

г) $ \frac{5}{x} - 4 \le \frac{2x + 3}{x - 1}. $

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \ge 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
2. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1, x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
Знаменатель: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
3. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} \ge 0$.
4. С учетом ОДЗ ($x \neq 3$), сокращаем дробь на $(x-3)$. Получаем равносильное на ОДЗ неравенство: $\frac{x-1}{x+3} \ge 0$.
5. Решим полученное неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=-3$). Точка $x=1$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое. Точка $x=-3$ будет выколотой (не включена), так как она обращает знаменатель в ноль.

Определяем знаки на интервалах:
- при $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2+3} > 0$. Ставим "+".
- при $-3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0+3} < 0$. Ставим "-".
- при $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4-1}{-4+3} > 0$. Ставим "+".
6. Выбираем интервалы со знаком "+", так как решаем неравенство $\ge 0$. Получаем $(-\infty, -3) \cup [1, \infty)$.
7. Учитываем первоначальное ограничение $x \neq 3$. Точка $x=3$ находится в интервале $[1, \infty)$, поэтому мы должны ее "выколоть".
Итоговое решение: $(-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2 - 7x + 10}{25 - x^2} \le 0$.
1. ОДЗ: $25 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 25$, откуда $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
2. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$.
Знаменатель: $25 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5)$.
3. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)(x-5)}{-(x-5)(x+5)} \le 0$.
4. С учетом ОДЗ ($x \neq 5$), сокращаем дробь: $\frac{x-2}{-(x+5)} \le 0$.
5. Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $\frac{x-2}{x+5} \ge 0$.
6. Решаем методом интервалов. Нули числителя $x=2$, нули знаменателя $x=-5$.

Знаки на интервалах такие же, как в предыдущей задаче. Нам нужны интервалы со знаком "+".
Решение для $\frac{x-2}{x+5} \ge 0$ есть $(-\infty, -5) \cup [2, \infty)$.
7. Учитываем ОДЗ $x \neq 5$. Точка $x=5$ попадает в промежуток $[2, \infty)$, поэтому мы должны ее исключить.
Итоговое решение: $(-\infty, -5) \cup [2, 5) \cup (5, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup [2, 5) \cup (5, \infty)$.

в) Решим неравенство $1 - x \ge \frac{1}{x-3}$.
1. Перенесем все слагаемые в левую часть: $1 - x - \frac{1}{x-3} \ge 0$.
2. ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
3. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(1-x)(x-3) - 1}{x-3} \ge 0 \implies \frac{x-3-x^2+3x-1}{x-3} \ge 0 \implies \frac{-x^2+4x-4}{x-3} \ge 0$.
4. Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $\frac{x^2-4x+4}{x-3} \le 0$.
5. Числитель является полным квадратом: $x^2-4x+4 = (x-2)^2$. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)^2}{x-3} \le 0$.
6. Числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$ при всех $x$).
Следовательно, чтобы дробь была $\le 0$, необходимо рассмотреть два случая:
- Дробь равна 0. Это происходит, когда числитель равен 0, а знаменатель нет. $(x-2)^2=0 \implies x=2$. При $x=2$ знаменатель $2-3 = -1 \neq 0$. Значит, $x=2$ является решением.
- Дробь меньше 0. Так как числитель $(x-2)^2 > 0$ при $x \neq 2$, для отрицательности дроби необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным: $x-3 < 0 \implies x < 3$.
7. Объединяя полученные условия ($x=2$ и $x<3$), получаем итоговое решение $x<3$.
Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{5}{x} - 4 \le \frac{2x+3}{x-1}$.
1. Перенесем все слагаемые в левую часть: $\frac{5}{x} - 4 - \frac{2x+3}{x-1} \le 0$.
2. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
3. Приведем к общему знаменателю $x(x-1)$:
$\frac{5(x-1) - 4x(x-1) - x(2x+3)}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{5x-5 - 4x^2+4x - 2x^2-3x}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{-6x^2+6x-5}{x(x-1)} \le 0$
4. Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $\frac{6x^2-6x+5}{x(x-1)} \ge 0$.
5. Исследуем числитель $6x^2-6x+5$. Найдем его дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 36 - 120 = -84$.
6. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=6 > 0$, квадратный трехчлен $6x^2-6x+5$ всегда положителен при любом $x$.
7. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему: $x(x-1) > 0$. (Неравенство строгое, так как числитель никогда не равен нулю).
8. Решим неравенство $x(x-1) > 0$. Корни $x=0$ и $x=1$. Ветви параболы $y=x(x-1)$ направлены вверх, значит, выражение положительно за пределами корней.

Решением является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

2.92 а) $\frac{(1-x)(x+2)}{x-3} \le 0$;

б) $\frac{3-x}{(4-x)(x+5)} \ge 0$;

в) $x-1 \ge \frac{x^2-5x-1}{x-1}$;

г) $\frac{x^2-4x-1}{x-2} \le x+2$;

д) $\frac{2+x-x^2}{x-3} \le 0$;

е) $\frac{5-x}{x^2-2x-24} \ge 0.$

а) $\frac{(1 - x)(x + 2)}{x - 3} \le 0$
Решим данное неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$; $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
2. Отметим найденные точки на числовой оси. Точки $x=-2$ и $x=1$ будут закрашенными (включены в решение), так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=3$ будет выколотой (исключена из решения), так как на ноль делить нельзя.
3. Определим знак выражения $\frac{(1 - x)(x + 2)}{x - 3}$ на каждом из полученных интервалов.
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.
- При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
- При $-2 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком "минус", а также точки, где числитель равен нулю ($x=-2, x=1$).
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-2, 1] \cup (3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-2, 1] \cup (3, +\infty)$.

б) $\frac{3 - x}{(4 - x)(x + 5)} \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$.
Нули знаменателя: $4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$; $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.
2. Точка $x=3$ включена в решение (неравенство нестрогое). Точки $x=4$ и $x=-5$ исключены из решения (нули знаменателя).
3. Определим знак выражения $\frac{3 - x}{(4 - x)(x + 5)}$ на каждом интервале.
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(-)}{(-)(+)} > 0$.
- При $3 < x < 4$ (например, $x=3.5$): $\frac{(-)}{(+)(+)} < 0$.
- При $-5 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(+)}{(+)(+)} > 0$.
- При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(+)}{(+)(-)} < 0$.
4. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это интервалы со знаком "плюс" и точка $x=3$.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-5, 3] \cup (4, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5, 3] \cup (4, +\infty)$.

в) $x - 1 \ge \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1}$
1. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 1$.
$x - 1 - \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1} \ge 0$
$\frac{(x - 1)^2 - (x^2 - 5x - 1)}{x - 1} \ge 0$
2. Упростим числитель.
$\frac{x^2 - 2x + 1 - x^2 + 5x + 1}{x - 1} \ge 0$
$\frac{3x + 2}{x - 1} \ge 0$
3. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2/3$ (точка включена).
Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (точка исключена).
4. Определим знаки на интервалах для выражения $\frac{3x + 2}{x - 1}$.
- При $x > 1$: $\frac{(+)}{(+)} > 0$.
- При $-2/3 < x < 1$: $\frac{(+)}{(-)} < 0$.
- При $x < -2/3$: $\frac{(-)}{(-)} > 0$.
5. Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точку $x = -2/3$.
Решение: $x \in (-\infty, -2/3] \cup (1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2/3] \cup (1, +\infty)$.

г) $\frac{x^2 - 4x - 1}{x - 2} \le x + 2$
1. Перенесем все члены в левую часть. ОДЗ: $x \ne 2$.
$\frac{x^2 - 4x - 1}{x - 2} - (x + 2) \le 0$
$\frac{x^2 - 4x - 1 - (x + 2)(x - 2)}{x - 2} \le 0$
2. Упростим числитель.
$\frac{x^2 - 4x - 1 - (x^2 - 4)}{x - 2} \le 0$
$\frac{x^2 - 4x - 1 - x^2 + 4}{x - 2} \le 0$
$\frac{-4x + 3}{x - 2} \le 0$
3. Решим методом интервалов.
Нуль числителя: $-4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3/4$ (точка включена).
Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (точка исключена).
4. Определим знаки выражения $\frac{-4x + 3}{x - 2}$ на интервалах.
- При $x > 2$: $\frac{(-)}{(+)} < 0$.
- При $3/4 < x < 2$: $\frac{(-)}{(-)} > 0$.
- При $x < 3/4$: $\frac{(+)}{(-)} < 0$.
5. Выбираем интервалы со знаком "минус" и точку $x=3/4$.
Решение: $x \in (-\infty, 3/4] \cup (2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 3/4] \cup (2, +\infty)$.

д) $\frac{2 + x - x^2}{x - 3} \le 0$
1. Разложим числитель на множители: $2 + x - x^2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{-(x - 2)(x + 1)}{x - 3} \le 0$.
2. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 3} \ge 0$
3. Решим методом интервалов.
Нули числителя: $x = 2, x = -1$ (точки включены).
Нуль знаменателя: $x = 3$ (точка исключена).
4. Определим знаки выражения $\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 3}$ на интервалах.
- При $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
- При $2 < x < 3$: $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$.
- При $-1 < x < 2$: $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
- При $x < -1$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
5. Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точки $x=-1, x=2$.
Решение: $x \in [-1, 2] \cup (3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-1, 2] \cup (3, +\infty)$.

е) $\frac{5 - x}{x^2 - 2x - 24} \ge 0$
1. Разложим знаменатель на множители. Корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$ это $x_1=6, x_2=-4$.
Знаменатель: $x^2 - 2x - 24 = (x-6)(x+4)$.
Неравенство: $\frac{5 - x}{(x - 6)(x + 4)} \ge 0$.
2. Решим методом интервалов.
Нуль числителя: $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$ (точка включена).
Нули знаменателя: $x = 6, x = -4$ (точки исключены).
3. Определим знаки выражения $\frac{5 - x}{(x - 6)(x + 4)}$ на интервалах.
- При $x > 6$: $\frac{(-)}{(+)(+)} < 0$.
- При $5 < x < 6$: $\frac{(-)}{(-)(+)} > 0$.
- При $-4 < x < 5$: $\frac{(+)}{(-)(+)} < 0$.
- При $x < -4$: $\frac{(+)}{(-)(-)} > 0$.
4. Выбираем интервалы со знаком "плюс" и точку $x=5$.
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup [5, 6)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [5, 6)$.