Номер 2.85, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.10. Нестрогие неравенства - номер 2.85, страница 87.

Условие.

2.85 a) $-x^2 + 2x - 1 \ge 0;$

б) $-x^2 + 4x - 4 \le 0;$

В) $3x^2 + 18x + 27 \le 0;$

Г) $2x^2 - 20x + 50 \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим неравенство $-x^2 + 2x - 1 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 - 2x + 1 \le 0$ Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом разности: $(x - 1)^2 \le 0$ Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$. Следовательно, неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ выполняется только в том случае, когда левая часть равна нулю: $(x - 1)^2 = 0$ $x - 1 = 0$ $x = 1$
Ответ: 1.

б) Решим неравенство $-x^2 + 4x - 4 \le 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4x + 4 \ge 0$ Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности: $(x - 2)^2 \ge 0$ Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Данное неравенство верно при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $3x^2 + 18x + 27 \le 0$. Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не меняется): $x^2 + 6x + 9 \le 0$ Левая часть является полным квадратом суммы: $(x + 3)^2 \le 0$ Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ($(x + 3)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только при условии, что левая часть равна нулю: $(x + 3)^2 = 0$ $x + 3 = 0$ $x = -3$
Ответ: -3.

г) Решим неравенство $2x^2 - 20x + 50 \ge 0$. Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не меняется): $x^2 - 10x + 25 \ge 0$ Свернем левую часть по формуле полного квадрата разности: $(x - 5)^2 \ge 0$ Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство справедливо для любого значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.