Номер 2.84, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.84, страница 87.

2.84 a) $x^2 - 12x + 32 \le 0$;

Б) $x^2 + 8x - 12 \le 0$;

В) $2x^2 + x - 7 \ge 0$;

Г) $3x^2 - 5x - 1 \le 0$.

а) $x^2 - 12x + 32 \le 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 32 = 0$.

Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 32. Легко подобрать корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 8$.

Можно также вычислить дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4$; $x_2 = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 12x + 32$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 12x + 32 \le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это промежуток между корнями, включая сами корни.

Ответ: $[4; 8]$.

б) $x^2 + 8x - 12 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 + 48 = 112$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{7}$.

Таким образом, $x_1 = -4 - 2\sqrt{7}$ и $x_2 = -4 + 2\sqrt{7}$.

Парабола $y = x^2 + 8x - 12$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями включительно.

Ответ: $[-4 - 2\sqrt{7}; -4 + 2\sqrt{7}]$.

в) $2x^2 + x - 7 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 1 + 56 = 57$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{4}$.

Парабола $y = 2x^2 + x - 7$ имеет ветви, направленные вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется на тех промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Это промежутки левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{57}}{4}; +\infty)$.

г) $3x^2 - 5x - 1 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 5x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 25 + 12 = 37$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}$.

Парабола $y = 3x^2 - 5x - 1$ имеет ветви, направленные вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $[\frac{5 - \sqrt{37}}{6}; \frac{5 + \sqrt{37}}{6}]$.