Номер 2.87, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.87, страница 87.

2.87 a) $(x - 1)(x - 2)(x - 3) \geq 0;$

Б) $(x - 2)(x + 2)(x - 3) \leq 0;$

В) $(x + 1)(x + 2)(x + 3) \leq 0;$

Г) $(x^2 - 4)(x + 5) \geq 0;$

Д) $(x^2 + 2x + 1)(x - 1) \leq 0;$

е) $(x^2 - 6x + 9)(x - 2) \geq 0.$

а)

Решим неравенство $(x-1)(x-2)(x-3) \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю: $(x-1)(x-2)(x-3) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале. Для крайнего правого интервала $(3; +\infty)$ возьмем пробную точку, например $x=4$: $(4-1)(4-2)(4-3) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно.

Поскольку все корни имеют кратность 1 (нечетную), при переходе через каждый корень знак выражения будет меняться. Таким образом, знаки на интервалах чередуются: `+` на $(3; +\infty)$, `-` на $(2; 3)$, `+` на $(1; 2)$, `-` на $(-\infty; 1)$.

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует интервалам со знаком «+» и самим корням.

Следовательно, решением является объединение промежутков $[1; 2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [1; 2] \cup [3; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(x-2)(x+2)(x-3) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни выражения в левой части: $(x-2)(x+2)(x-3) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = -2$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

2. Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -2, 2, 3. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, взяв $x=4$: $(4-2)(4+2)(4-3) = 2 \cdot 6 \cdot 1 = 12 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки на интервалах чередуются: `-`, `+`, `-`, `+` (справа налево).

4. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалам со знаком «-» и самим корням.

Решением является объединение промежутков $(-\infty; -2]$ и $[2; 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; 3]$.

в)

Решим неравенство $(x+1)(x+2)(x+3) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни левой части: $(x+1)(x+2)(x+3) = 0$.

Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -2$, $x_3 = -1$.

2. Отметим корни на числовой прямой: -3, -2, -1. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(-1; +\infty)$, взяв $x=0$: $(0+1)(0+2)(0+3) = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: `-`, `+`, `-`, `+` (справа налево).

4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервалы со знаком «-» и включаем корни.

Решением является объединение промежутков $(-\infty; -3]$ и $[-2; -1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-2; -1]$.

г)

Решим неравенство $(x^2-4)(x+5) \ge 0$.

1. Сначала разложим на множители выражение $x^2-4$ по формуле разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)(x+2)(x+5) \ge 0$.

2. Найдем корни: $(x-2)(x+2)(x+5) = 0$. Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -2$, $x_3 = 2$.

3. Отметим корни на числовой прямой: -5, -2, 2. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

4. Определим знак в крайнем правом интервале $(2; +\infty)$, взяв $x=3$: $(3-2)(3+2)(3+5) = 1 \cdot 5 \cdot 8 = 40 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: `-`, `+`, `-`, `+` (справа налево).

5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем корни.

Решением является объединение промежутков $[-5; -2]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5; -2] \cup [2; +\infty)$.

д)

Решим неравенство $(x^2+2x+1)(x-1) \le 0$.

1. Заметим, что $x^2+2x+1$ является полным квадратом: $x^2+2x+1 = (x+1)^2$.

Неравенство принимает вид: $(x+1)^2(x-1) \le 0$.

2. Найдем корни: $(x+1)^2(x-1) = 0$. Корни: $x_1 = -1$ (кратность 2) и $x_2 = 1$ (кратность 1).

3. Отметим корни на числовой прямой: -1, 1. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4. Определим знаки. В интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x=2$) выражение $(2+1)^2(2-1) > 0$. Знак «+».

При переходе через корень $x=1$ (нечетной кратности) знак меняется на «-». На интервале $(-1; 1)$ знак «-».

При переходе через корень $x=-1$ (четной кратности) знак не меняется. На интервале $(-\infty; -1)$ знак также «-».

5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-», а также сами корни $x=-1$ и $x=1$.

Интервалы $(-\infty; -1)$ и $(-1; 1)$ вместе с точками $x=-1$ и $x=1$ образуют единый промежуток $(-\infty; 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

е)

Решим неравенство $(x^2-6x+9)(x-2) \ge 0$.

1. Выражение $x^2-6x+9$ является полным квадратом: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$.

Неравенство принимает вид: $(x-3)^2(x-2) \ge 0$.

2. Найдем корни: $(x-3)^2(x-2) = 0$. Корни: $x_1 = 2$ (кратность 1) и $x_2 = 3$ (кратность 2).

3. Отметим корни на числовой прямой: 2, 3. Интервалы: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

4. Определим знаки. В интервале $(3; +\infty)$ (например, при $x=4$) выражение $(4-3)^2(4-2) > 0$. Знак «+».

При переходе через корень $x=3$ (четной кратности) знак не меняется. На интервале $(2; 3)$ знак также «+».

При переходе через корень $x=2$ (нечетной кратности) знак меняется на «-». На интервале $(-\infty; 2)$ знак «-».

5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это интервалы со знаком «+», а также сами корни $x=2$ и $x=3$.

Интервалы $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$ вместе с точками $x=2$ и $x=3$ образуют единый промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.