Номер 2.89, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.10. Нестрогие неравенства - номер 2.89, страница 87.

Условие.

2.89* a) $(x-1)(x-2)^2 \le 0;$

б) $(x+1)(x+2)^2 \ge 0;$

В) $(x^2+2x+1)(x-1) \ge 0;$

Г) $(x^2-6x+9)(x-2) \le 0;$

Д) $(x^2-4x+3)(x^2-1) \ge 0;$

е) $(x^2-3x+2)(x^2-4) \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(x - 1)(x - 2)^2 \le 0$

Для решения данного неравенства используем метод интервалов.
Сначала найдем корни левой части неравенства, приравняв ее к нулю:
$(x - 1)(x - 2)^2 = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$(x - 2)^2 = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Корень $x = 2$ имеет кратность 2 (четная степень), что означает, что при переходе через эту точку на числовой оси знак выражения меняться не будет. Корень $x=1$ имеет кратность 1 (нечетная степень), знак будет меняться.

Отметим корни на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; \infty)$.

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(3 - 1)(3 - 2)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 > 0$. Знак "+".
• При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $(1.5 - 1)(1.5 - 2)^2 = 0.5 \cdot (-0.5)^2 = 0.125 > 0$. Знак "+". (Знак не изменился при переходе через корень $x=2$).
• При $x < 1$ (например, $x=0$): $(0 - 1)(0 - 2)^2 = -1 \cdot 4 = -4 < 0$. Знак "-". (Знак изменился при переходе через корень $x=1$).

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю ($\le 0$). Это выполняется на интервале, где знак "-", а также в точках, где выражение равно нулю.
Таким образом, решением является интервал $(-\infty, 1]$ и изолированная точка $x=2$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\}$.

б) $(x + 1)(x + 2)^2 \ge 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни левой части:
$(x + 1)(x + 2)^2 = 0$
$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$
$(x + 2)^2 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Корень $x=-2$ имеет четную кратность (2), а корень $x=-1$ — нечетную (1).

Отметим корни на числовой оси: -2 и -1. Определим знаки на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; \infty)$.

• При $x > -1$ (например, $x=0$): $(0 + 1)(0 + 2)^2 = 1 \cdot 4 = 4 > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-1.5 + 1)(-1.5 + 2)^2 = -0.5 \cdot 0.5^2 = -0.125 < 0$. Знак "-".
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3 + 1)(-3 + 2)^2 = -2 \cdot (-1)^2 = -2 < 0$. Знак "-".

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю ($\ge 0$). Это выполняется на интервале, где знак "+", и в точках, где выражение равно нулю.
Решением является интервал $[-1, \infty)$ и изолированная точка $x=-2$.
Ответ: $x \in \{-2\} \cup [-1, \infty)$.

в) $(x^2 + 2x + 1)(x - 1) \ge 0$

Сначала упростим выражение в первой скобке. Заметим, что это полный квадрат:
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
Неравенство принимает вид:
$(x + 1)^2 (x - 1) \ge 0$

Это неравенство аналогично предыдущему. Найдем корни:
$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$ (четная кратность 2)
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ (нечетная кратность 1)

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2 + 1)^2 (2 - 1) = 9 \cdot 1 = 9 > 0$. Знак "+".
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0 + 1)^2 (0 - 1) = 1 \cdot (-1) = -1 < 0$. Знак "-".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2 + 1)^2 (-2 - 1) = (-1)^2 \cdot (-3) = -3 < 0$. Знак "-".

Выражение должно быть больше или равно нулю ($\ge 0$). Это выполняется на интервале $[1, \infty)$ и в точке $x=-1$.
Ответ: $x \in \{-1\} \cup [1, \infty)$.

г) $(x^2 - 6x + 9)(x - 2) \le 0$

Выражение в первой скобке является полным квадратом:
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
Неравенство принимает вид:
$(x - 3)^2 (x - 2) \le 0$

Найдем корни:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$ (четная кратность 2)
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$ (нечетная кратность 1)

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4 - 3)^2 (4 - 2) = 1^2 \cdot 2 = 2 > 0$. Знак "+".
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $(2.5 - 3)^2 (2.5 - 2) = (-0.5)^2 \cdot 0.5 > 0$. Знак "+".
• При $x < 2$ (например, $x=0$): $(0 - 3)^2 (0 - 2) = 9 \cdot (-2) = -18 < 0$. Знак "-".

Выражение должно быть меньше или равно нулю ($\le 0$). Это выполняется на интервале $(-\infty, 2]$ и в точке $x=3$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup \{3\}$.

д) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 1) \ge 0$

Разложим на множители каждый из квадратных трехчленов.
Для $x^2 - 4x + 3 = 0$, корни по теореме Виета $x_1 = 1, x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
Для $x^2 - 1$, по формуле разности квадратов $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим в неравенство:
$(x - 1)(x - 3)(x - 1)(x + 1) \ge 0$
$(x + 1)(x - 1)^2 (x - 3) \ge 0$

Найдем корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$ (четная кратность 2), $x_3 = 3$.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4+1)(4-1)^2(4-3) > 0$. Знак "+".
• При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $(2+1)(2-1)^2(2-3) < 0$. Знак "-".
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+1)(0-1)^2(0-3) < 0$. Знак "-".
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2+1)(-2-1)^2(-2-3) > 0$. Знак "+".

Нам нужно, чтобы выражение было $\ge 0$. Решением будут интервалы со знаком "+" и корни уравнения.
Интервалы: $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$. Также корень $x=1$ является решением, так как в этой точке выражение равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup \{1\} \cup [3, \infty)$.

е) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 4) \le 0$

Разложим на множители.
Для $x^2 - 3x + 2 = 0$, корни $x_1 = 1, x_2 = 2$. Тогда $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
Для $x^2 - 4 = 0$, корни $x_1 = 2, x_2 = -2$. Тогда $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Подставим в неравенство:
$(x - 1)(x - 2)(x - 2)(x + 2) \le 0$
$(x + 2)(x - 1)(x - 2)^2 \le 0$

Найдем корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$ (четная кратность 2).

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(3+2)(3-1)(3-2)^2 > 0$. Знак "+".
• При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $(1.5+2)(1.5-1)(1.5-2)^2 > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+2)(0-1)(0-2)^2 < 0$. Знак "-".
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3-1)(-3-2)^2 > 0$. Знак "+".

Нам нужно, чтобы выражение было $\le 0$. Решением будет интервал со знаком "-" и корни уравнения.
Интервал: $[-2, 1]$. Корень $x=2$ также является решением.
Ответ: $x \in [-2, 1] \cup \{2\}$.