Номер 2.94, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.94, страница 90.

2.94° Является ли какое-нибудь из чисел −1; 1; 0; 2 решением системы рациональных неравенств:

а) $\begin{cases} (x-3)^2 > 0 \\ (x-2)(x-5) < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+5)^2 > 0 \\ (x+4)(x-4) > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 3x + 5 > 0 \\ \frac{1}{x-4} < 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 - 6x - 8 < 0 \\ \frac{x+4}{x} > 5? \end{cases}$

Чтобы определить, является ли число решением системы неравенств, необходимо подставить это число в каждое неравенство системы. Если все неравенства обращаются в верные числовые неравенства, то число является решением системы. Если хотя бы одно неравенство оказывается неверным, число не является решением.

а) Проверим числа для системы $\begin{cases} (x - 3)^2 > 0 \\ (x - 2)(x - 5) < 0 \end{cases}$.

• При $x = -1$:
  Первое неравенство: $(-1 - 3)^2 = (-4)^2 = 16$. Неравенство $16 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(-1 - 2)(-1 - 5) = (-3)(-6) = 18$. Неравенство $18 < 0$ неверно.
  Число $-1$ не является решением системы.
• При $x = 1$:
  Первое неравенство: $(1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$. Неравенство $4 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(1 - 2)(1 - 5) = (-1)(-4) = 4$. Неравенство $4 < 0$ неверно.
  Число $1$ не является решением системы.
• При $x = 0$:
  Первое неравенство: $(0 - 3)^2 = (-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(0 - 2)(0 - 5) = (-2)(-5) = 10$. Неравенство $10 < 0$ неверно.
  Число $0$ не является решением системы.
• При $x = 2$:
  Первое неравенство: $(2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1$. Неравенство $1 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(2 - 2)(2 - 5) = 0 \cdot (-3) = 0$. Неравенство $0 < 0$ неверно.
  Число $2$ не является решением системы.

Ответ: ни одно из чисел $-1; 1; 0; 2$ не является решением данной системы.

б) Проверим числа для системы $\begin{cases} (x + 5)^2 > 0 \\ (x + 4)(x - 4) > 0 \end{cases}$.

• При $x = -1$:
  Первое неравенство: $(-1 + 5)^2 = 4^2 = 16$. Неравенство $16 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(-1 + 4)(-1 - 4) = 3 \cdot (-5) = -15$. Неравенство $-15 > 0$ неверно.
  Число $-1$ не является решением системы.
• При $x = 1$:
  Первое неравенство: $(1 + 5)^2 = 6^2 = 36$. Неравенство $36 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(1 + 4)(1 - 4) = 5 \cdot (-3) = -15$. Неравенство $-15 > 0$ неверно.
  Число $1$ не является решением системы.
• При $x = 0$:
  Первое неравенство: $(0 + 5)^2 = 5^2 = 25$. Неравенство $25 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(0 + 4)(0 - 4) = 4 \cdot (-4) = -16$. Неравенство $-16 > 0$ неверно.
  Число $0$ не является решением системы.
• При $x = 2$:
  Первое неравенство: $(2 + 5)^2 = 7^2 = 49$. Неравенство $49 > 0$ верно.
  Второе неравенство: $(2 + 4)(2 - 4) = 6 \cdot (-2) = -12$. Неравенство $-12 > 0$ неверно.
  Число $2$ не является решением системы.

Ответ: ни одно из чисел $-1; 1; 0; 2$ не является решением данной системы.

в) Проверим числа для системы $\begin{cases} x^2 - 3x + 5 > 0 \\ \frac{1}{x - 4} < 2 \end{cases}$.

Рассмотрим первое неравенство $x^2 - 3x + 5 > 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, то трехчлен $x^2 - 3x + 5$ положителен при любых значениях $x$. Значит, первое неравенство выполняется для всех проверяемых чисел. Остается проверить второе неравенство.

• При $x = -1$:
  Второе неравенство: $\frac{1}{-1 - 4} = -\frac{1}{5}$. Неравенство $-\frac{1}{5} < 2$ верно.
  Оба неравенства верны, значит, число $-1$ является решением системы.
• При $x = 1$:
  Второе неравенство: $\frac{1}{1 - 4} = -\frac{1}{3}$. Неравенство $-\frac{1}{3} < 2$ верно.
  Оба неравенства верны, значит, число $1$ является решением системы.
• При $x = 0$:
  Второе неравенство: $\frac{1}{0 - 4} = -\frac{1}{4}$. Неравенство $-\frac{1}{4} < 2$ верно.
  Оба неравенства верны, значит, число $0$ является решением системы.
• При $x = 2$:
  Второе неравенство: $\frac{1}{2 - 4} = -\frac{1}{2}$. Неравенство $-\frac{1}{2} < 2$ верно.
  Оба неравенства верны, значит, число $2$ является решением системы.

Ответ: все числа $-1; 1; 0; 2$ являются решениями данной системы.

г) Проверим числа для системы $\begin{cases} x^2 - 6x - 8 < 0 \\ \frac{x + 4}{x} > 5 \end{cases}$.

• При $x = -1$:
  Первое неравенство: $(-1)^2 - 6(-1) - 8 = 1 + 6 - 8 = -1$. Неравенство $-1 < 0$ верно.
  Второе неравенство: $\frac{-1 + 4}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$. Неравенство $-3 > 5$ неверно.
  Число $-1$ не является решением системы.
• При $x = 1$:
  Первое неравенство: $1^2 - 6(1) - 8 = 1 - 6 - 8 = -13$. Неравенство $-13 < 0$ верно.
  Второе неравенство: $\frac{1 + 4}{1} = 5$. Неравенство $5 > 5$ неверно (так как неравенство строгое).
  Число $1$ не является решением системы.
• При $x = 0$:
  Второе неравенство $\frac{x+4}{x} > 5$ не имеет смысла, так как знаменатель обращается в ноль (деление на ноль недопустимо).
  Число $0$ не входит в область допустимых значений, следовательно, не является решением.
• При $x = 2$:
  Первое неравенство: $2^2 - 6(2) - 8 = 4 - 12 - 8 = -16$. Неравенство $-16 < 0$ верно.
  Второе неравенство: $\frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Неравенство $3 > 5$ неверно.
  Число $2$ не является решением системы.

Ответ: ни одно из чисел $-1; 1; 0; 2$ не является решением данной системы.