Номер 2.97, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.97, страница 90.

2.97 a) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x-5}{x+2} < 0 \\ \frac{x+7}{x-1} > 0 \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+4}{x-2} < 0 \\ \frac{x+8}{x-7} > 0 \end{array} \right.$

в) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2-1}{x^2+4} \ge 0 \\ \frac{x-5}{x^2-4} < 0 \end{array} \right.$

г) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2-16}{x^2+1} < 0 \\ \frac{x-1}{x^2-4} \ge 0 \end{array} \right.$

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x-5}{x+2} < 0, \\ \frac{x+7}{x-1} > 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x-5}{x+2} < 0$. Это неравенство равносильно неравенству $(x-5)(x+2) < 0$ при условии $x \neq -2$. Корни левой части: $x=5$ и $x=-2$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-2, 5)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+7}{x-1} > 0$. Это неравенство равносильно неравенству $(x+7)(x-1) > 0$ при условии $x \neq 1$. Корни левой части: $x=-7$ и $x=1$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-2, 5)$ и $x \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty)$. Изобразив эти множества на числовой прямой, видим, что их общая часть — это интервал от 1 до 5.

Ответ: $x \in (1, 5)$.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x+4}{x-2} < 0, \\ \frac{x+8}{x-7} > 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x+4}{x-2} < 0$. Методом интервалов для корней $x=-4$ и $x=2$ находим, что решение: $x \in (-4, 2)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+8}{x-7} > 0$. Методом интервалов для корней $x=-8$ и $x=7$ находим, что решение: $x \in (-\infty, -8) \cup (7, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-4, 2) \cap ((-\infty, -8) \cup (7, \infty))$. Множество $(-4, 2)$ не имеет общих точек ни с $(-\infty, -8)$, ни с $(7, \infty)$. Следовательно, пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

в)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-1}{x^2+4} \geq 0, \\ \frac{x-5}{x^2-4} < 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x^2-1}{x^2+4} \geq 0$. Знаменатель $x^2+4$ всегда положителен (так как $x^2 \geq 0$, то $x^2+4 \geq 4$). Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Решаем неравенство $x^2-1 \geq 0$, или $(x-1)(x+1) \geq 0$. Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x-5}{x^2-4} < 0$. Разложим знаменатель на множители: $\frac{x-5}{(x-2)(x+2)} < 0$. Нули числителя и знаменателя: $x=5, x=2, x=-2$. Применяя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 5)$.

3. Найдем пересечение множеств $((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$ и $((-\infty, -2) \cup (2, 5))$.
Пересечение $(-\infty, -1]$ с $((-\infty, -2) \cup (2, 5))$ дает интервал $(-\infty, -2)$.
Пересечение $[1, \infty)$ с $((-\infty, -2) \cup (2, 5))$ дает интервал $(2, 5)$.
Объединив эти результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 5)$.

г)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-16}{x^2+1} < 0, \\ \frac{x-1}{x^2-4} \geq 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $\frac{x^2-16}{x^2+1} < 0$. Знаменатель $x^2+1$ всегда положителен. Следовательно, решаем неравенство $x^2-16 < 0$, или $(x-4)(x+4) < 0$. Решением является интервал $x \in (-4, 4)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x-1}{x^2-4} \geq 0$. Разложим знаменатель: $\frac{x-1}{(x-2)(x+2)} \geq 0$. Нули числителя и знаменателя: $x=1, x=2, x=-2$. Точки $x=2$ и $x=-2$ исключаются из решения (знаменатель не может быть равен нулю). Методом интервалов находим решение: $x \in (-2, 1] \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение множеств $(-4, 4)$ и $((-2, 1] \cup (2, \infty))$.
Пересечение $(-4, 4) \cap (-2, 1]$ дает $(-2, 1]$.
Пересечение $(-4, 4) \cap (2, \infty)$ дает $(2, 4)$.
Объединяя эти два множества, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-2, 1] \cup (2, 4)$.