Номер 2.104, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.11. Системы рациональных неравенств - номер 2.104, страница 92.

Условие.

2.104* Решите уравнение:

а) $|x^2 - 4x + 3| + |-x^2 + 5x - 4| = x - 1;$

б) $|x^2 - 5x + 6| + |-x^2 + 4x - 3| = 3 - x;$

в) $|x^2 - 10x + 24| + |x^2 - 9x + 20| = -x + 4;$

г) $|x^2 + 5x - 24| + |x^2 - 9x + 8| = 14x - 32;$

д) $\left|\frac{x}{x+1} - 3x\right| + \left|\frac{x}{x+1} + 2\right| = 3x + 2;$

е) $\left|\frac{x}{2x-5} + x\right| + \left|\frac{x}{2x-5} - 1\right| = x + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $|x^2 - 4x + 3| + |-x^2 + 5x - 4| = x - 1$

Преобразуем выражение во втором модуле, используя свойство $|-a|=|a|$: $|-x^2 + 5x - 4| = |-(x^2 - 5x + 4)| = |x^2 - 5x + 4|$. Уравнение принимает вид: $|x^2 - 4x + 3| + |x^2 - 5x + 4| = x - 1$.

Обозначим $f(x) = x^2 - 4x + 3$ и $g(x) = x^2 - 5x + 4$. Заметим, что разность этих функций равна правой части уравнения: $f(x) - g(x) = (x^2 - 4x + 3) - (x^2 - 5x + 4) = x^2 - 4x + 3 - x^2 + 5x - 4 = x - 1$.

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$. Это равенство, основанное на свойстве модуля $|a| + |b| = a - b$, является верным тогда и только тогда, когда $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим соответствующую систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ x^2 - 5x + 4 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = 3$. Неравенство можно записать как $(x-1)(x-3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 5x + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = 4$. Неравенство можно записать как $(x-1)(x-4) \le 0$. Решением является $x \in [1, 4]$.

Найдем пересечение полученных решений: $((-\infty, 1] \cup [3, \infty)) \cap [1, 4]$. Пересечение этих множеств есть $\{1\} \cup [3, 4]$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [3, 4]$.

б) $|x^2 - 5x + 6| + |-x^2 + 4x - 3| = 3 - x$

Преобразуем выражение во втором модуле: $|-x^2 + 4x - 3| = |-(x^2 - 4x + 3)| = |x^2 - 4x + 3|$. Уравнение принимает вид: $|x^2 - 5x + 6| + |x^2 - 4x + 3| = 3 - x$.

Обозначим $f(x) = x^2 - 5x + 6$ и $g(x) = x^2 - 4x + 3$. Заметим, что $f(x) - g(x) = (x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 4x + 3) = -x + 3 = 3 - x$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ x^2 - 4x + 3 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 6 \ge 0 \implies (x-2)(x-3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 \le 0 \implies (x-1)(x-3) \le 0$. Решением является $x \in [1, 3]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, 2] \cup [3, \infty)) \cap [1, 3]$. Пересечением является множество $[1, 2] \cup \{3\}$.

Ответ: $x \in [1, 2] \cup \{3\}$.

в) $|x^2 - 10x + 24| + |x^2 - 9x + 20| = -x + 4$

Обозначим $f(x) = x^2 - 10x + 24$ и $g(x) = x^2 - 9x + 20$. Заметим, что $f(x) - g(x) = (x^2 - 10x + 24) - (x^2 - 9x + 20) = -x + 4$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 10x + 24 \ge 0 \\ x^2 - 9x + 20 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 10x + 24 \ge 0 \implies (x-4)(x-6) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, 4] \cup [6, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 9x + 20 \le 0 \implies (x-4)(x-5) \le 0$. Решением является $x \in [4, 5]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, 4] \cup [6, \infty)) \cap [4, 5]$. Пересечением является единственная точка $x=4$.

Ответ: $x = 4$.

г) $|x^2 + 5x - 24| + |x^2 - 9x + 8| = 14x - 32$

Обозначим $f(x) = x^2 + 5x - 24$ и $g(x) = x^2 - 9x + 8$. Заметим, что $f(x) - g(x) = (x^2 + 5x - 24) - (x^2 - 9x + 8) = 14x - 32$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$, что равносильно системе $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + 5x - 24 \ge 0 \\ x^2 - 9x + 8 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 24 \ge 0 \implies (x+8)(x-3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -8] \cup [3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 9x + 8 \le 0 \implies (x-1)(x-8) \le 0$. Решением является $x \in [1, 8]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -8] \cup [3, \infty)) \cap [1, 8]$. Пересечением является отрезок $[3, 8]$.

Ответ: $x \in [3, 8]$.

д) $|\frac{x}{x+1} - 3x| + |\frac{x}{x+1} + 2| = 3x + 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Обозначим $f(x) = \frac{x}{x+1} - 3x$ и $g(x) = \frac{x}{x+1} + 2$. Заметим, что $g(x) - f(x) = (\frac{x}{x+1} + 2) - (\frac{x}{x+1} - 3x) = 2 + 3x$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = g(x) - f(x)$, что равносильно $|f(x)| + |g(x)| = -(f(x) - g(x))$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) \le 0$ и $g(x) \ge 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x}{x+1} - 3x \le 0 \\ \frac{x}{x+1} + 2 \ge 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\frac{x - 3x(x+1)}{x+1} \le 0 \implies \frac{-3x^2-2x}{x+1} \le 0 \implies \frac{-x(3x+2)}{x+1} \le 0 \implies \frac{x(3x+2)}{x+1} \ge 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-1, -2/3] \cup [0, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x+2(x+1)}{x+1} \ge 0 \implies \frac{3x+2}{x+1} \ge 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -1) \cup [-2/3, \infty)$.

Найдем пересечение решений с учетом ОДЗ: $((-1, -2/3] \cup [0, \infty)) \cap ((-\infty, -1) \cup [-2/3, \infty))$. Пересечением является множество $\{-2/3\} \cup [0, \infty)$.

Ответ: $x \in \{-2/3\} \cup [0, \infty)$.

е) $|\frac{x}{2x-5} + x| + |\frac{x}{2x-5} - 1| = x + 1$

ОДЗ: $2x-5 \neq 0 \implies x \neq 5/2$. Обозначим $f(x) = \frac{x}{2x-5} + x$ и $g(x) = \frac{x}{2x-5} - 1$. Заметим, что $f(x) - g(x) = (\frac{x}{2x-5} + x) - (\frac{x}{2x-5} - 1) = x+1$.

Уравнение имеет вид $|f(x)| + |g(x)| = f(x) - g(x)$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$.

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x}{2x-5} + x \ge 0 \\ \frac{x}{2x-5} - 1 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\frac{x+x(2x-5)}{2x-5} \ge 0 \implies \frac{2x^2-4x}{2x-5} \ge 0 \implies \frac{2x(x-2)}{2x-5} \ge 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in [0, 2] \cup (5/2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{x-(2x-5)}{2x-5} \le 0 \implies \frac{-x+5}{2x-5} \le 0$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, 5/2) \cup [5, \infty)$.

Найдем пересечение решений с учетом ОДЗ: $([0, 2] \cup (5/2, \infty)) \cap ((-\infty, 5/2) \cup [5, \infty))$. Пересечением является множество $[0, 2] \cup [5, \infty)$.

Ответ: $x \in [0, 2] \cup [5, \infty)$.