Номер 2.103, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.103, страница 92.

2.103* При каких значениях a система неравенств:

$$\begin{cases}x^2 - x - 6 \ge 0 \\x^2 - (a + 5)x + 5a \le 0\end{cases}$$

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решений;

в) имеет бесконечно много решений?

Рассмотрим данную систему неравенств:

$$\begin{cases}x^2 - x - 6 \ge 0 \\x^2 - (a + 5)x + 5a \le 0\end{cases}$$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Неравенство можно записать в виде $(x+2)(x-3) \ge 0$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, множество решений первого неравенства: $M_1 = (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 - (a + 5)x + 5a \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - (a + 5)x + 5a = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $a+5$, а их произведение равно $5a$. Легко видеть, что корнями являются $x_1 = a$ и $x_2 = 5$.

Неравенство можно записать в виде $(x-a)(x-5) \le 0$.

Это также парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями (включая сами корни). Множество решений второго неравенства, $M_2$, зависит от соотношения $a$ и $5$:

• Если $a < 5$, то $M_2 = [a, 5]$.
• Если $a = 5$, то неравенство принимает вид $(x-5)^2 \le 0$, что имеет единственное решение $x=5$. Таким образом, $M_2 = \{5\}$.
• Если $a > 5$, то $M_2 = [5, a]$.

Решением системы является пересечение множеств $M = M_1 \cap M_2$.

Заметим важный факт: при любом значении параметра $a$ число $x=5$ является решением второго неравенства, так как $(5-a)(5-5) = 0 \le 0$. Проверим, является ли $x=5$ решением первого неравенства: $5^2 - 5 - 6 = 25 - 11 = 14 \ge 0$. Да, является. Следовательно, $x=5$ является решением системы при любом значении $a$. Это означает, что у системы всегда есть хотя бы одно решение.

а) имеет единственное решение

Как мы установили, $x=5$ всегда является решением системы. Чтобы это решение было единственным, никакое другое число $x \ne 5$ не должно быть решением системы.

Рассмотрим различные случаи для $a$:

1. Пусть $a = 5$. Тогда множество решений второго неравенства $M_2 = \{5\}$. Пересечение $M = M_1 \cap M_2 = ((-\infty, -2] \cup [3, \infty)) \cap \{5\}$. Так как $5 \in [3, \infty)$, то $M = \{5\}$. В этом случае система имеет единственное решение.
2. Пусть $a < 5$. Тогда $M_2 = [a, 5]$. Решение системы $M = M_1 \cap [a, 5]$. Поскольку $a < 5$, интервал $[a, 5]$ содержит не только точку $5$, но и точки, близкие к ней. Например, интервал $(3, 5)$ целиком лежит в $M_1$. Пересечение $[a, 5] \cap [3, \infty)$ дает интервал $[\max(a, 3), 5]$. Так как $a < 5$, этот интервал не пуст и не является одной точкой, а значит содержит бесконечно много решений.
3. Пусть $a > 5$. Тогда $M_2 = [5, a]$. Решение системы $M = M_1 \cap [5, a]$. Так как $a > 5$ и весь интервал $[5, a]$ принадлежит множеству $M_1 = (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$, то $M = [5, a]$. Этот интервал содержит бесконечно много решений.

Таким образом, система имеет единственное решение только при $a=5$.

Ответ: $a = 5$.

б) не имеет решений

Как было показано ранее, $x=5$ является решением системы неравенств при любом значении параметра $a$. Следовательно, множество решений системы никогда не бывает пустым.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

в) имеет бесконечно много решений

Система будет иметь бесконечно много решений во всех случаях, кроме тех, когда она имеет единственное решение или не имеет решений. Так как случаев, когда решений нет, не существует, а единственное решение имеется только при $a=5$, то при всех остальных значениях $a$ система будет иметь бесконечно много решений.

Проверим это:

• Если $a < 5$, то $M_2 = [a, 5]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ содержит отрезок $[\max(a, 3), 5]$, который состоит из бесконечного числа точек.
• Если $a > 5$, то $M_2 = [5, a]$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ равно отрезку $[5, a]$, который также состоит из бесконечного числа точек.

Следовательно, система имеет бесконечно много решений при всех $a \ne 5$.

Ответ: $a \in (-\infty, 5) \cup (5, \infty)$.