Номер 3.1, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.1. Понятие функции и ее графика. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.1, страница 96.

3.1° a) Сформулируйте определение функции. Приведите примеры функций.

б) Что называют графиком функции $y = f(x)$?

в) Какую функцию называют непрерывной на промежутке? Приведите примеры.

а)

Функция (или функциональная зависимость) — это такое правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ (называемого областью определения функции) ставится в соответствие один и только один элемент $y$ из множества $Y$ (называемого областью значений функции).

Переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом, а переменную $y$ — зависимой переменной или значением функции. Функциональную зависимость принято обозначать как $y = f(x)$.

Примеры функций:

• Линейная функция: $y = kx + b$. Например, $y = 3x - 1$. Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.
• Квадратичная функция: $y = ax^2 + bx + c$. Например, $y = x^2 + 4$. Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.
• Обратная пропорциональность: $y = \frac{k}{x}$. Например, $y = \frac{5}{x}$.
• Тригонометрические функции: $y = \sin(x)$, $y = \cos(x)$.

Ответ: Функция — это правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из множества, называемого областью определения, соответствует единственное значение зависимой переменной (значения функции). Примеры: $y = 3x - 1$, $y = x^2 + 4$, $y = \sin(x)$.

б)

Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, абсциссы которых ($x$) принадлежат области определения функции, а ординаты ($y$) равны соответствующим значениям функции $f(x)$.

Таким образом, график — это визуальное представление функции, которое показывает, как значение $y$ изменяется в зависимости от $x$. Для построения графика находят пары чисел $(x, f(x))$, отмечают соответствующие точки на координатной плоскости и соединяют их линией (если функция непрерывна на рассматриваемом промежутке).

Ответ: Графиком функции $y = f(x)$ является множество всех точек координатной плоскости с координатами $(x, f(x))$, где $x$ пробегает всю область определения функции.

в)

Функцию $y = f(x)$ называют непрерывной на промежутке, если она определена во всех точках этого промежутка и непрерывна в каждой его точке.

Непрерывность функции в точке $x_0$ означает, что её предел при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Проще говоря, функция непрерывна на промежутке, если ее график на этом промежутке представляет собой сплошную, непрерывную линию, которую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

Примеры непрерывных функций:

• Все элементарные функции (многочлены, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические) непрерывны на своей области определения.
• Многочлен, например, $y = x^2 - 2x + 5$, непрерывен на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.
• Функция $y = \sqrt{x}$ непрерывна на промежутке $[0, +\infty)$.
• Функция $y = \frac{1}{x}$ непрерывна на любом промежутке, не содержащем точку $0$, например, на $(0, 10)$ или $(-\infty, -1)$.

Ответ: Функцию называют непрерывной на промежутке, если ее можно задать на этом промежутке одной формулой и ее график на этом промежутке — сплошная линия без разрывов. Примеры: $y = x^3$ на $(-\infty, +\infty)$, $y = \cos(x)$ на $(-\infty, +\infty)$, $y = \sqrt{x}$ на $[0, +\infty)$.