Страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.1° a) Сформулируйте определение функции. Приведите примеры функций.

б) Что называют графиком функции $y = f(x)$?

в) Какую функцию называют непрерывной на промежутке? Приведите примеры.

а)

Функция (или функциональная зависимость) — это такое правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ (называемого областью определения функции) ставится в соответствие один и только один элемент $y$ из множества $Y$ (называемого областью значений функции).

Переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом, а переменную $y$ — зависимой переменной или значением функции. Функциональную зависимость принято обозначать как $y = f(x)$.

Примеры функций:

• Линейная функция: $y = kx + b$. Например, $y = 3x - 1$. Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.
• Квадратичная функция: $y = ax^2 + bx + c$. Например, $y = x^2 + 4$. Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.
• Обратная пропорциональность: $y = \frac{k}{x}$. Например, $y = \frac{5}{x}$.
• Тригонометрические функции: $y = \sin(x)$, $y = \cos(x)$.

Ответ: Функция — это правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из множества, называемого областью определения, соответствует единственное значение зависимой переменной (значения функции). Примеры: $y = 3x - 1$, $y = x^2 + 4$, $y = \sin(x)$.

б)

Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, абсциссы которых ($x$) принадлежат области определения функции, а ординаты ($y$) равны соответствующим значениям функции $f(x)$.

Таким образом, график — это визуальное представление функции, которое показывает, как значение $y$ изменяется в зависимости от $x$. Для построения графика находят пары чисел $(x, f(x))$, отмечают соответствующие точки на координатной плоскости и соединяют их линией (если функция непрерывна на рассматриваемом промежутке).

Ответ: Графиком функции $y = f(x)$ является множество всех точек координатной плоскости с координатами $(x, f(x))$, где $x$ пробегает всю область определения функции.

в)

Функцию $y = f(x)$ называют непрерывной на промежутке, если она определена во всех точках этого промежутка и непрерывна в каждой его точке.

Непрерывность функции в точке $x_0$ означает, что её предел при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Проще говоря, функция непрерывна на промежутке, если ее график на этом промежутке представляет собой сплошную, непрерывную линию, которую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

Примеры непрерывных функций:

• Все элементарные функции (многочлены, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические) непрерывны на своей области определения.
• Многочлен, например, $y = x^2 - 2x + 5$, непрерывен на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.
• Функция $y = \sqrt{x}$ непрерывна на промежутке $[0, +\infty)$.
• Функция $y = \frac{1}{x}$ непрерывна на любом промежутке, не содержащем точку $0$, например, на $(0, 10)$ или $(-\infty, -1)$.

Ответ: Функцию называют непрерывной на промежутке, если ее можно задать на этом промежутке одной формулой и ее график на этом промежутке — сплошная линия без разрывов. Примеры: $y = x^3$ на $(-\infty, +\infty)$, $y = \cos(x)$ на $(-\infty, +\infty)$, $y = \sqrt{x}$ на $[0, +\infty)$.

Найдите область определения функции (3.2–3.3):

3.2 а) $y = x$;

б) $y = 3x - 7$;

в) $y = x^2$;

г) $y = 3x^2 - 6x + 1;

д) $y = \frac{1}{x}$;

е) $y = \frac{4}{x-1} + 2.

а) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена (имеет смысл). Функция $y=x$ является линейной. Выражение $x$ определено для любых действительных значений $x$, так как в нем отсутствуют операции, накладывающие ограничения, такие как деление на переменную или извлечение корня четной степени. Следовательно, область определения — все действительные числа. Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = 3x - 7$ является линейной, её график — прямая линия. Выражение $3x - 7$ является многочленом первой степени. Любой многочлен определен для всех действительных значений переменной $x$. Таким образом, ограничений на область определения нет. Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Функция $y = x^2$ является квадратичной. Выражение $x^2$ — это многочлен второй степени. Как и для любого многочлена, область его определения — множество всех действительных чисел. Никаких ограничений для $x$ нет. Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) Функция $y = 3x^2 - 6x + 1$ также является квадратичной. Выражение в правой части является многочленом, который имеет смысл при любых действительных значениях $x$. Ограничений на область определения нет. Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

д) Функция $y = \frac{1}{x}$ является дробно-рациональной. В выражении присутствует деление на переменную $x$. Основное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Поэтому мы должны исключить значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x \neq 0$. Область определения функции — все действительные числа, кроме 0. Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

е) Функция $y = \frac{4}{x - 1} + 2$ также является дробно-рациональной. Чтобы найти область определения, нужно найти значения $x$, при которых знаменатель дроби $x - 1$ равен нулю, и исключить их. Решим уравнение: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Таким образом, $x$ не может быть равен 1. Свободный член $+2$ не влияет на область определения. Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме 1. Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

3.3 a) $y = |x|;$

б) $y = |x - 2|;$

В) $y = (x - 2)^2;$

Г) $y = \frac{x^2-1}{x+1};$

Д) $y = \frac{|x|}{x};$

е) $y = \frac{5}{|x|-2}.$

Для каждой функции найдем ее область определения. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена.

Функция $y = |x|$ (модуль $x$) определена для любого действительного значения $x$. Выражение под знаком модуля может быть любым действительным числом. Ограничений на область определения нет.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Выражение под знаком модуля, $x - 2$, является линейной функцией, которая определена для всех действительных чисел $x$. Функция модуля также определена для любого действительного аргумента. Следовательно, никаких ограничений на область определения данной функции нет.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Данная функция $y = (x - 2)^2$ является квадратичной (многочлен второй степени). Многочлены определены для всех действительных значений переменной $x$. Ограничений на область определения нет.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Данная функция $y = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем значения $x$, которые нужно исключить, решив уравнение:

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Таким образом, $x$ может быть любым действительным числом, кроме $-1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Данная функция $y = \frac{|x|}{x}$ является дробной. Основное ограничение — знаменатель не должен быть равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x$.

$x \neq 0$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x = 0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Это дробная функция $y = \frac{5}{|x| - 2}$, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю. Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль:

$|x| - 2 = 0$

$|x| = 2$

Это уравнение имеет два корня: $x = 2$ и $x = -2$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Постройте график функции (3.4–3.7):

3.4

a) $y = x$;

б) $y = |x - 2|$;

в) $y = |x + 2|$;

г) $y = |x - 2| + 1.

а) Для построения графика функции $y=x$ следует учесть, что это линейная функция. Её графиком является прямая линия, которая проходит через начало координат и является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.
1. При $x=0$, значение $y=0$. Получаем точку $(0, 0)$.
2. При $x=1$, значение $y=1$. Получаем точку $(1, 1)$.
Соединив эти две точки, мы получим искомый график.
Ответ: График функции $y=x$ — это прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси Ох.

б) График функции $y = |x - 2|$ можно построить, используя преобразование графика базовой функции $y = |x|$.
1. Сначала мысленно или на черновике строим график функции $y = |x|$. Это график, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина этого графика находится в точке $(0, 0)$.
2. График функции вида $y = f(x - a)$ получается путем сдвига (параллельного переноса) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ох) на $a$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг происходит вправо, если $a < 0$ — влево. В нашем случае $a=2$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x|$ на 2 единицы вправо.
Таким образом, вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.
Альтернативно, можно раскрыть модуль:
$y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \\ -(x - 2), & \text{если } x - 2 < 0 \implies x < 2 \end{cases}$
Это означает, что для $x \ge 2$ мы строим луч прямой $y = x-2$, а для $x < 2$ — луч прямой $y = -x+2$. Оба луча встречаются в точке $(2, 0)$.
Ответ: График функции $y = |x - 2|$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ох. Это V-образная кривая с вершиной в точке $(2, 0)$.

в) Построение графика функции $y = |x + 2|$ аналогично предыдущему пункту.
1. Снова начинаем с графика функции $y = |x|$.
2. Функцию $y = |x + 2|$ можно записать как $y = |x - (-2)|$. Здесь $a = -2$, что означает сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы влево вдоль оси Ох.
Вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$.
Раскрывая модуль:
$y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 \\ -(x + 2), & \text{если } x + 2 < 0 \implies x < -2 \end{cases}$
Это означает, что для $x \ge -2$ мы строим луч прямой $y = x+2$, а для $x < -2$ — луч прямой $y = -x-2$. Оба луча встречаются в точке $(-2, 0)$.
Ответ: График функции $y = |x + 2|$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы влево вдоль оси Ох. Это V-образная кривая с вершиной в точке $(-2, 0)$.

г) Для построения графика функции $y = |x - 2| + 1$ применим последовательно два преобразования.
1. Сначала выполним преобразование для аргумента, как в пункте б). Строим график $y = |x - 2|$, сдвигая график $y = |x|$ на 2 единицы вправо. Вершина этого промежуточного графика находится в точке $(2, 0)$.
2. Затем применим преобразование вида $y = f(x) + b$. Такое преобразование сдвигает график $y = f(x)$ вдоль оси ординат (Оу) на $b$ единиц. Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх, если $b < 0$ — вниз. В нашем случае $b=1$, поэтому мы сдвигаем график $y = |x-2|$ на 1 единицу вверх.
Вершина графика перемещается из точки $(2, 0)$ в точку $(2, 1)$.
Ответ: График функции $y = |x - 2| + 1$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо вдоль оси Ох и на 1 единицу вверх вдоль оси Оу. Это V-образная кривая с вершиной в точке $(2, 1)$.

3.5 a) $y = x^2$;

б) $y = x^2 - 4$;

в) $y = (x - 1)^2$;

г) $y = (x - 3)^2 + 2$;

д) $y = x^2 - 6x + 8$;

е) $y = |x^2 - 6x + 8|$.

а) $y = x^2$

Это основная квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (то есть $a=1$), он положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(x_0, y_0)$. Для функции $y=ax^2+bx+c$ координаты вершины вычисляются по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$. В данном случае $a=1, b=0, c=0$, поэтому:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$
$y_0 = 0^2 = 0$
Вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

3. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = x_0$. В данном случае это прямая $x = 0$, то есть ось ординат (ось Oy).

4. График проходит через точки $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии - ось Oy.

б) $y = x^2 - 4$

График этой функции — парабола, которую можно получить из графика $y=x^2$ с помощью параллельного переноса (сдвига).

1. Данный график получается путем сдвига параболы $y=x^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

2. Вершина параболы также смещается на 4 единицы вниз и находится в точке $(0, -4)$. Проверим по формуле: $a=1, b=0, c=-4$.
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$
$y_0 = 0^2 - 4 = -4$
Вершина — $(0, -4)$.

3. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Ось симметрии — $x=0$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью Ox (y=0): $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
- С осью Oy (x=0): $y = 0^2 - 4 = -4$. Точка пересечения: $(0, -4)$, что совпадает с вершиной.

Ответ: Графиком является парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 4 единицы вниз. Вершина находится в точке $(0, -4)$, ветви направлены вверх.

в) $y = (x - 1)^2$

График этой функции — парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$.

1. Данный график получается путем сдвига параболы $y=x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

2. Функция представлена в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$ (здесь $a=1, x_0=1, y_0=0$), из которого видно, что вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

3. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Ось симметрии — прямая $x=1$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью Ox (y=0): $(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$. Парабола касается оси Ox в своей вершине, в точке $(1, 0)$.
- С осью Oy (x=0): $y = (0 - 1)^2 = 1$. Точка пересечения: $(0, 1)$.

Ответ: Графиком является парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо. Вершина находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх.

г) $y = (x - 3)^2 + 2$

График этой функции — парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$.

1. Данный график получается путем сдвига параболы $y=x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

2. Функция представлена в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, из которого видно, что вершина параболы находится в точке $(3, 2)$.

3. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$). Ось симметрии — прямая $x=3$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью Ox (y=0): $(x - 3)^2 + 2 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = -2$. Уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, график не пересекает ось Ox.
- С осью Oy (x=0): $y = (0 - 3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11$. Точка пересечения: $(0, 11)$.

Ответ: Графиком является парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх. Вершина находится в точке $(3, 2)$, ветви направлены вверх.

д) $y = x^2 - 6x + 8$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Для удобства анализа и построения выделим полный квадрат.

1. Преобразование выражения:
$y = (x^2 - 6x) + 8 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2) + 8 = (x-3)^2 - 9 + 8 = (x-3)^2 - 1$.

2. Из полученного вида $y = (x-3)^2 - 1$ следует, что это парабола $y=x^2$, сдвинутая на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

3. Вершина параболы находится в точке $(3, -1)$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$). Ось симметрии — $x=3$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью Ox (y=0): $x^2 - 6x + 8 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1=2, x_2=4$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.
- С осью Oy (x=0): $y = 0^2 - 6(0) + 8 = 8$. Точка пересечения: $(0, 8)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(3, -1)$ и ветвями, направленными вверх. Она пересекает ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$ и ось Oy в точке $(0, 8)$.

е) $y = |x^2 - 6x + 8|$

График данной функции строится на основе графика функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$, рассмотренной в пункте д).

1. Для построения графика функции $y=|f(x)|$ необходимо ту часть графика $y=f(x)$, которая лежит ниже оси Ox, симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, лежащая на и выше оси Ox, остается без изменений.

2. Из пункта д) мы знаем, что парабола $y = x^2 - 6x + 8$ находится ниже оси Ox на интервале между корнями, то есть при $x \in (2, 4)$. На промежутках $(-\infty, 2]$ и $[4, \infty)$ она находится выше или на оси Ox.

3. Таким образом, для построения графика $y = |x^2 - 6x + 8|$:
- На интервалах $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$ график совпадает с параболой $y = x^2 - 6x + 8$.
- На интервале $(2, 4)$ мы строим график функции $y = -(x^2 - 6x + 8) = -x^2 + 6x - 8$. Эта часть графика является отражением "нижней" дуги исходной параболы.

4. Вершина исходной параболы $(3, -1)$ после отражения переходит в точку $(3, 1)$, которая является точкой локального максимума нового графика. Точки $(2, 0)$ и $(4, 0)$ являются точками "излома" графика.

Ответ: График функции получается из параболы $y=x^2-6x+8$ путем отражения ее части, расположенной под осью Ox (на интервале $x \in (2,4)$), относительно оси Ox. В результате получается график, состоящий из двух ветвей параболы, идущих в бесконечность, и "арки", соединяющей точки $(2,0)$ и $(4,0)$ с вершиной в точке $(3,1)$.

3.6 а) $y = \frac{1}{x};$

б) $y = \frac{4}{x} + 2;$

в) $y = \frac{6}{x - 2};$

г) $y = \frac{6}{x + 1} - 1;$

д) $y = \frac{4x + 2}{x + 1};$

е) $y = \frac{1}{|x|}.$

а) $y = \frac{1}{x}$

Это основная функция обратной пропорциональности, её график — гипербола.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: Функция никогда не принимает значение 0, так как дробь $\frac{1}{x}$ равна нулю только если числитель равен нулю, что не так. Область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy), так как при $x \to 0$ значение $y \to \infty$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$ значение $y \to 0$.

4. График: Гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Функция является нечётной, так как $y(-x) = \frac{1}{-x} = -y(x)$, поэтому её график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$, $y=0$.

б) $y = \frac{4}{x} + 2$

График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$. Она не меняется, так как сдвига по горизонтали не было.
- Горизонтальная асимптота: $y = 2$. Так как график сдвинут на 2 единицы вверх, горизонтальная асимптота $y=0$ для функции $\frac{4}{x}$ также сдвигается на 2 единицы вверх.

3. Область значений: Так как $\frac{4}{x} \neq 0$, то $y = \frac{4}{x} + 2 \neq 2$. Область значений $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями:
- С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4}{x} + 2 \Rightarrow \frac{4}{x} = -2 \Rightarrow x = -2$. Точка пересечения $(-2; 0)$.
- С осью Oy ($x=0$): пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$, $y=2$.

в) $y = \frac{6}{x-2}$

График этой функции получается из графика $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, $x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$. Область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 2$. Так как график сдвинут на 2 единицы вправо, вертикальная асимптота $x=0$ для функции $\frac{6}{x}$ также сдвигается на 2 единицы вправо.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$. Сдвига по вертикали не было.

3. Область значений: Так как дробь $\frac{6}{x-2}$ не может быть равна нулю, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями:
- С осью Ox ($y=0$): $\frac{6}{x-2} = 0$. Это уравнение не имеет решений. Пересечения с осью Ox нет.
- С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{6}{0-2} = -3$. Точка пересечения $(0; -3)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Асимптоты: $x=2$, $y=0$.

г) $y = \frac{6}{x+1} - 1$

График этой функции получается из графика $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$. Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = -1$ (сдвиг влево на 1).
- Горизонтальная асимптота: $y = -1$ (сдвиг вниз на 1).

3. Область значений: Так как $\frac{6}{x+1} \neq 0$, то $y = \frac{6}{x+1} - 1 \neq -1$. Область значений $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями:
- С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{6}{x+1} - 1 \Rightarrow \frac{6}{x+1} = 1 \Rightarrow x+1=6 \Rightarrow x=5$. Точка пересечения $(5; 0)$.
- С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{6}{0+1} - 1 = 6-1=5$. Точка пересечения $(0; 5)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Асимптоты: $x=-1$, $y=-1$.

д) $y = \frac{4x+2}{x+1}$

Преобразуем выражение, выделив целую часть:
$y = \frac{4x+4-2}{x+1} = \frac{4(x+1)-2}{x+1} = \frac{4(x+1)}{x+1} - \frac{2}{x+1} = 4 - \frac{2}{x+1}$.
График этой функции получается из графика $y = -\frac{2}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy. Знак "минус" перед дробью означает, что ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях относительно новых асимптот.

1. Область определения: Знаменатель $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$. Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = -1$ (сдвиг влево на 1).
- Горизонтальная асимптота: $y = 4$ (сдвиг вверх на 4). Её также можно найти как предел: $\lim_{x\to\infty} \frac{4x+2}{x+1} = \frac{4}{1} = 4$.

3. Область значений: Из преобразованного вида $y = 4 - \frac{2}{x+1}$ видно, что $y \neq 4$. Область значений $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями:
- С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4x+2}{x+1} \Rightarrow 4x+2=0 \Rightarrow x = -0.5$. Точка пересечения $(-0.5; 0)$.
- С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{4(0)+2}{0+1} = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Асимптоты: $x=-1$, $y=4$.

е) $y = \frac{1}{|x|}$

Эта функция определяется как $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$ и $y = \frac{1}{-x}$ при $x < 0$.

1. Область определения: Знаменатель $|x| \neq 0$, следовательно $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Свойства графика: График получается из графика функции $y=\frac{1}{x}$ следующим образом: часть графика при $x>0$ (в I четверти) остается без изменений, а часть графика при $x<0$ заменяется на симметричное отражение части для $x>0$ относительно оси Oy. Таким образом, обе ветви гиперболы находятся выше оси Ox.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

4. Область значений: Так как $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y = \frac{1}{|x|}$ всегда будет положительным. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

5. Чётность: Функция является чётной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x|} = \frac{1}{|x|} = y(x)$. Её график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (0; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$, $y=0$.

3.7* a) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$;

б) $y = \frac{|x - 1|}{x - 1}$;

в) $y = x^2 - 6 |x| + 8$;

г) $y = |x^2 - 6 |x| + 8|$;

д) $y = ||x| - 2|$;

е) $y = \left|\frac{x - 1}{x + 1}\right|$.

а)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Далее, упростим выражение функции. Числитель $x^2 - 4$ является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Подставим это в исходную функцию: $y = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$.

Поскольку $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x-2)$. В результате получаем $y = x+2$.

Это уравнение прямой. Таким образом, график исходной функции представляет собой прямую линию $y = x+2$, из которой исключена точка с абсциссой $x=2$. Найдем ординату этой точки, подставив $x=2$ в упрощенное уравнение: $y = 2 + 2 = 4$.

Ответ: График функции — это прямая $y = x+2$ с выколотой точкой $(2; 4)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{|x - 1|}{x - 1}$.

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Если $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$, то по определению модуля $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $y = \frac{x-1}{x-1} = 1$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то по определению модуля $|x-1| = -(x-1)$. Функция принимает вид: $y = \frac{-(x-1)}{x-1} = -1$.

Итак, функция является кусочно-постоянной:

$ y = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 1 \\ -1, & \text{если } x < 1 \end{cases} $

График этой функции состоит из двух открытых лучей: горизонтального луча $y=1$ для всех $x > 1$ и горизонтального луча $y=-1$ для всех $x < 1$. В точке $x=1$ функция не определена.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луч $y=1$ при $x \in (1; +\infty)$ и луч $y=-1$ при $x \in (-\infty; 1)$.

в)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 6|x| + 8$.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Поэтому функцию можно записать как $y = |x|^2 - 6|x| + 8$. Так как в уравнение входит только $|x|$, функция является четной ($y(-x) = y(x)$), и ее график симметричен относительно оси OY.

Построим сначала часть графика для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция имеет вид $y = x^2 - 6x + 8$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем ее ключевые точки. Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. Ордината вершины: $y_0 = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Координаты вершины: $(3; -1)$.

Точки пересечения с осями координат:
С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 6(0) + 8 = 8$. Точка $(0; 8)$.
С осью OX (при $y=0$): $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = 4$. Обе точки лежат в рассматриваемой области $x \ge 0$. Точки пересечения: $(2; 0)$ и $(4; 0)$.

Теперь построим вторую часть графика для $x < 0$, отразив уже построенную часть симметрично относительно оси OY. Вершина $(3; -1)$ отразится в точку $(-3; -1)$. Точки пересечения с осью OX $(2; 0)$ и $(4; 0)$ отразятся в точки $(-2; 0)$ и $(-4; 0)$. Точка на оси OY $(0; 8)$ останется на месте.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он состоит из двух частей парабол: $y=x^2-6x+8$ для $x \ge 0$ и $y=x^2+6x+8$ для $x < 0$. Вершины парабол находятся в точках $(\pm 3; -1)$, пересечение с осью OY в точке $(0; 8)$, пересечения с осью OX в точках $(\pm 2; 0)$ и $(\pm 4; 0)$.

г)

Рассмотрим функцию $y = |x^2 - 6|x| + 8|$.

Данная функция представляет собой модуль функции, рассмотренной в пункте в). Обозначим $g(x) = x^2 - 6|x| + 8$. Тогда $y = |g(x)|$.

График функции $y=|f(x)|$ получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси OX тех его частей, которые лежат ниже оси OX. Части графика, лежащие выше или на оси OX, остаются без изменений.

Из анализа в пункте в) мы знаем, что график $g(x)$ лежит ниже оси OX на интервалах $(-4; -2)$ и $(2; 4)$. Именно эти участки будут отражены.

В результате преобразования:
1. Части графика $g(x)$, где $g(x) \ge 0$ (на промежутках $(-\infty; -4]$, $[-2; 2]$ и $[4; +\infty)$), остаются на месте.
2. Участки парабол на интервалах $(-4; -2)$ и $(2; 4)$ отражаются вверх.
3. Вершины парабол, которые были в точках $(3; -1)$ и $(-3; -1)$, после отражения станут точками локальных максимумов ("пиками") в $(3; 1)$ и $(-3; 1)$.
4. Точки пересечения с осью OX $(\pm 2; 0)$ и $(\pm 4; 0)$ теперь являются точками касания (локальные минимумы).

Ответ: График функции получается из графика $y=x^2-6|x|+8$ отражением его отрицательной части относительно оси OX. График имеет локальные максимумы в точках $(\pm 3; 1)$, локальные минимумы в точках $(\pm 2; 0)$ и $(\pm 4; 0)$, и проходит через точку $(0; 8)$.

д)

Рассмотрим функцию $y = ||x| - 2|$.

Для построения графика раскроем модули последовательно. Сначала раскроем внутренний модуль $|x|$, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$, функция принимает вид $y = |x-2|$. Этот модуль раскрывается так:
- если $x \ge 2$, то $y = x-2$;
- если $0 \le x < 2$, то $y = -(x-2) = 2-x$.

2. При $x < 0$, функция принимает вид $y = |-x-2|$. Так как $|-a|=|a|$, это эквивалентно $y = |x+2|$. Этот модуль раскрывается так:
- если $-2 \le x < 0$, то $y = x+2$;
- если $x < -2$, то $y = -(x+2) = -x-2$.

Таким образом, функция задается кусочно-линейно:

$ y = \begin{cases} -x-2, & \text{если } x < -2 \\ x+2, & \text{если } -2 \le x < 0 \\ 2-x, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ x-2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $

График имеет характерную W-образную форму. Он состоит из четырех лучей, образующих "изломы" в точках, где выражения под модулями меняют знак. Ключевые точки: точки локальных минимумов $(\pm 2; 0)$ на оси OX и точка локального максимума $(0; 2)$ на оси OY.

Ответ: График функции имеет W-образную форму с точками излома в $(\pm 2; 0)$ (минимумы) и $(0; 2)$ (максимум).

е)

Рассмотрим функцию $y = \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$.

Построение графика проведем в два этапа: сначала построим график функции под модулем, $g(x) = \frac{x-1}{x+1}$, а затем применим операцию взятия модуля.

1. Анализ функции $g(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
Это дробно-линейная функция. Ее область определения $x \neq -1$.
Для удобства анализа выделим целую часть: $g(x) = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$.
График этой функции — гипербола со следующими свойствами: вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная асимптота $y=1$, пересечение с осью OY в точке $(0; -1)$ (т.к. $g(0)=-1$), пересечение с осью OX в точке $(1; 0)$ (т.к. $g(1)=0$).

2. Построение графика $y = |g(x)| = \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$.
Часть графика $g(x)$, лежащая ниже оси OX, отражается симметрично относительно этой оси. Найдем, где $g(x) < 0$: неравенство $\frac{x-1}{x+1} < 0$ справедливо на интервале $x \in (-1; 1)$.
Таким образом, ветвь гиперболы, расположенная между асимптотой $x=-1$ и точкой $(1;0)$, будет отражена вверх.

Свойства итогового графика:
- Вертикальная асимптота $x=-1$ сохраняется.
- Горизонтальная асимптота $y=1$ сохраняется.
- Точка пересечения с OX $(1; 0)$ становится точкой касания (локальный минимум).
- Точка пересечения с OY $(0; -1)$ после отражения становится точкой $(0; 1)$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Он касается оси OX в точке $(1; 0)$ и пересекает ось OY в точке $(0; 1)$.