Страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.14 На каком промежутке возрастает функция:

а) $y = x$;

б) $y = x^3$;

в) $y = x^5$;

г) $y = x^2$;

д) $y = x^4$;

е) $y = x^6$?

Для определения промежутков возрастания функции необходимо найти ее производную. Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная неотрицательна ($y' \ge 0$), причем равенство нулю достигается лишь в отдельных точках.

Общая формула производной для степенной функции $y = x^n$ имеет вид $y' = nx^{n-1}$.

Это степенная функция с показателем $n=1$.

Найдем производную: $y' = (x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$.

Производная $y' = 1$ положительна для всех значений $x$. Следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Это степенная функция с нечетным показателем $n=3$.

Найдем производную: $y' = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $3x^2 \ge 0$.

Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Производная равна нулю только в одной точке $x=0$. Таким образом, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Это степенная функция с нечетным показателем $n=5$.

Найдем производную: $y' = (x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $5x^4 \ge 0$.

Это неравенство справедливо для всех действительных чисел $x$, так как $x^4$ всегда неотрицательно. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Это степенная функция с четным показателем $n=2$.

Найдем производную: $y' = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $2x \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

Следовательно, функция возрастает при $x \ge 0$. График функции — парабола, убывающая при $x<0$ и возрастающая при $x>0$. Точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Это степенная функция с четным показателем $n=4$.

Найдем производную: $y' = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $4x^3 \ge 0$, что равносильно $x^3 \ge 0$, откуда получаем $x \ge 0$.

Следовательно, функция возрастает на промежутке, где $x \ge 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Это степенная функция с четным показателем $n=6$.

Найдем производную: $y' = (x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5$.

Решим неравенство $y' \ge 0$: $6x^5 \ge 0$, что равносильно $x^5 \ge 0$, откуда получаем $x \ge 0$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке, где $x \ge 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

3.15 На каком промежутке убывает функция:

а) $y = x^2$;

б) $y = x^4$;

в) $y = x^8$?

Для определения промежутка, на котором функция убывает, необходимо найти ее производную и определить, на каком промежутке эта производная является неположительной (то есть $y' \le 0$). Все три заданные функции относятся к классу степенных функций с четным натуральным показателем $y = x^{2n}$, где $n \in \mathbb{N}$.

а) $y = x^2$

1. Находим производную функции:
$y' = (x^2)' = 2x$.
2. Решаем неравенство $y' \le 0$, чтобы найти промежуток убывания:
$2x \le 0$
$x \le 0$
Это соответствует промежутку $(-\infty, 0]$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

б) $y = x^4$

1. Находим производную функции:
$y' = (x^4)' = 4x^3$.
2. Решаем неравенство $y' \le 0$:
$4x^3 \le 0$
$x^3 \le 0$
Поскольку показатель степени (3) нечетный, знак выражения $x^3$ совпадает со знаком $x$. Таким образом, неравенство равносильно $x \le 0$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

в) $y = x^8$

1. Находим производную функции:
$y' = (x^8)' = 8x^7$.
2. Решаем неравенство $y' \le 0$:
$8x^7 \le 0$
$x^7 \le 0$
Поскольку показатель степени (7) нечетный, знак выражения $x^7$ совпадает со знаком $x$. Таким образом, неравенство равносильно $x \le 0$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

3.16 В одной системе координат постройте графики функций:

a) $y = x^2$, $y = x^4$, $y = x^6$;

б) $y = x$, $y = x^3$, $y = x^5$;

в) $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$.

а) $y = x^2, y = x^4, y = x^6$

Для построения графиков функций $y=x^2$, $y=x^4$ и $y=x^6$ в одной системе координат, проанализируем их свойства.

Общие свойства:

• Все три функции — степенные с четным натуральным показателем.
• Область определения для всех функций — вся числовая прямая: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Все функции являются четными, так как $f(-x) = (-x)^{2k} = x^{2k} = f(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси ординат (Oy).
• Область значений для всех функций — неотрицательные числа: $E(y) = [0; +\infty)$. Графики расположены в верхней полуплоскости.
• Все три графика проходят через три общие точки: $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
  При $x=0$, $y=0$ для всех трех функций.
  При $x=1$, $y=1$ для всех трех функций.
  При $x=-1$, $y=1$ для всех трех функций.

Сравнительное расположение графиков:

• На интервале $(-1, 1)$, при $|x| < 1$, чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Таким образом, для $x \in (-1, 1)$ и $x \neq 0$ выполняется неравенство $x^6 < x^4 < x^2$. Вблизи нуля график с большим показателем степени будет "более плоским" и расположен ближе к оси абсцисс (Ox).
• При $|x| > 1$, чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Таким образом, для $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ выполняется неравенство $x^6 > x^4 > x^2$. При удалении от нуля график с большим показателем степени растет быстрее и расположен выше других.

Таким образом, все три графика представляют собой параболообразные кривые, симметричные относительно оси Oy и проходящие через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График $y=x^6$ будет "уже и круче" графика $y=x^4$ при $|x|>1$ и "шире и более плоским" при $|x|<1$. Аналогичное соотношение наблюдается между $y=x^4$ и $y=x^2$.

Ответ: Графики всех трех функций — это кривые, похожие на параболу $y=x^2$, симметричные относительно оси Oy. Они пересекаются в точках $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. С увеличением показателя степени (от 2 до 6) график становится более плоским на интервале $(-1, 1)$ и более крутым за его пределами.

б) $y = x, y = x^3, y = x^5$

Для построения графиков функций $y=x$, $y=x^3$ и $y=x^5$ в одной системе координат, проанализируем их свойства.

Общие свойства:

• Все три функции — степенные с нечетным натуральным показателем.
• Область определения и область значений для всех функций — вся числовая прямая: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Все функции являются нечетными, так как $f(-x) = (-x)^{2k+1} = -x^{2k+1} = -f(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно начала координат, точки $(0, 0)$.
• Все три графика проходят через три общие точки: $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Сравнительное расположение графиков:

• График $y=x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.
• На интервале $(0, 1)$, чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Таким образом, для $x \in (0, 1)$ выполняется неравенство $x^5 < x^3 < x$. График $y=x^5$ лежит ниже графика $y=x^3$, который, в свою очередь, лежит ниже прямой $y=x$.
• При $x > 1$, чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Таким образом, для $x \in (1, +\infty)$ выполняется неравенство $x^5 > x^3 > x$. График $y=x^5$ растет быстрее всего и лежит выше остальных.
• В силу нечетности функций, на интервале $(-1, 0)$ выполняется неравенство $x < x^3 < x^5 < 0$. График $y=x^5$ лежит выше (ближе к оси Ox) графика $y=x^3$, а тот, в свою очередь, выше графика $y=x$.
• При $x < -1$ выполняется неравенство $x^5 < x^3 < x < 0$. График $y=x^5$ убывает быстрее всего и лежит ниже остальных.

Графики $y=x^3$ и $y=x^5$ известны как кубические параболы. С увеличением показателя степени график становится "более плоским" вблизи начала координат и "более крутым" при удалении от него.

Ответ: Графики всех трех функций симметричны относительно начала координат и пересекаются в точках $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График $y=x$ — прямая. Графики $y=x^3$ и $y=x^5$ — кубические параболы. С увеличением нечетного показателя степени график сильнее "прижимается" к оси Ox на интервале $(-1, 1)$ и растет/убывает более круто за его пределами.

в) $y = x, y = x^2, y = x^3$

Для построения графиков функций $y=x$, $y=x^2$ и $y=x^3$ в одной системе координат, проанализируем их свойства и взаимное расположение.

Свойства и точки пересечения:

• $y=x$ (линейная): нечетная функция, график - прямая, симметричен относительно начала координат.
• $y=x^2$ (квадратичная): четная функция, график - парабола, симметричен относительно оси Oy.
• $y=x^3$ (кубическая): нечетная функция, график - кубическая парабола, симметричен относительно начала координат.
• Все три графика пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
• Графики $y=x$ и $y=x^3$ также пересекаются в точке $(-1, -1)$.

Сравнительное расположение графиков:

• При $x > 1$: $x^3 > x^2 > x$. График $y=x^3$ лежит выше всех, а график $y=x$ — ниже всех.
• На интервале $x \in (0, 1)$: $x > x^2 > x^3$. График $y=x$ лежит выше всех, а график $y=x^3$ — ниже всех.
• На интервале $x \in (-1, 0)$:
  - $y=x^2$ принимает положительные значения (график во II четверти, выше оси Ox).
  - $y=x$ и $y=x^3$ принимают отрицательные значения (графики в III четверти, ниже оси Ox).
  - В этом интервале выполняется $x < x^3 < 0$, поэтому график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x$.
• При $x = -1$: $y=x=-1$, $y=x^2=1$, $y=x^3=-1$.
• При $x < -1$:
  - $y=x^2$ положительна (график во II четверти).
  - $y=x$ и $y=x^3$ отрицательны (графики в III четверти).
  - В этом интервале выполняется $x^3 < x < 0$, поэтому график $y=x^3$ лежит ниже графика $y=x$.

Ответ: В одной системе координат строятся прямая $y=x$, парабола $y=x^2$ и кубическая парабола $y=x^3$. Все они пересекаются в точках $(0,0)$ и $(1,1)$. В первой четверти ($x>0$) их взаимное расположение меняется в точке $x=1$: до нее ($0<x<1$) выше всех прямая $y=x$, ниже всех — кубическая парабола $y=x^3$; после нее ($x>1$) наоборот. Во второй и третьей четвертях ($x<0$) график параболы $y=x^2$ всегда лежит выше остальных. Графики $y=x$ и $y=x^3$ пересекаются в точке $(-1,-1)$, меняя свое взаимное расположение: при $x \in (-1, 0)$ график $y=x^3$ выше, а при $x < -1$ — ниже графика $y=x$.

3.17 Выясните, какой из графиков двух функций расположен выше другого на интервале (0; 1):

а) $y = x$ и $y = x^2$;

б) $y = x^2$ и $y = x^3$;

в) $y = x^3$ и $y = x^4$;

г) $y = x^4$ и $y = x^5$.

Для того чтобы выяснить, какой из графиков двух функций расположен выше другого на заданном интервале, необходимо сравнить значения этих функций для любого $x$ из этого интервала. График функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$, если для всех $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f(x) > g(x)$.

Рассмотрим интервал $x \in (0; 1)$. Для любого числа из этого интервала (например, $x=0.5$) его степень будет меньше самого числа ($0.5^2 = 0.25 < 0.5$). В общем случае, для $x \in (0; 1)$ и натуральных чисел $n < m$ справедливо неравенство $x^n > x^m$. Таким образом, на интервале $(0; 1)$ график степенной функции с меньшим показателем степени будет расположен выше.

а) $y = x$ и $y = x^2$

Сравним функции $y=x$ (можно записать как $y=x^1$) и $y=x^2$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($1$) меньше, чем у второй ($2$).
Проверим это, рассмотрев их разность: $x - x^2 = x(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $x(1-x) > 0$, что означает $x > x^2$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x$ расположен выше графика функции $y=x^2$.
Ответ: График функции $y=x$ расположен выше.

б) $y = x^2$ и $y = x^3$

Сравним функции $y=x^2$ и $y=x^3$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($2$) меньше, чем у второй ($3$).
Рассмотрим их разность: $x^2 - x^3 = x^2(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x^2 > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных сомножителей положительно, следовательно, $x^2(1-x) > 0$, что означает $x^2 > x^3$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x^2$ расположен выше графика функции $y=x^3$.
Ответ: График функции $y=x^2$ расположен выше.

в) $y = x^3$ и $y = x^4$

Сравним функции $y=x^3$ и $y=x^4$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($3$) меньше, чем у второй ($4$).
Рассмотрим их разность: $x^3 - x^4 = x^3(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x^3 > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных сомножителей положительно, следовательно, $x^3(1-x) > 0$, что означает $x^3 > x^4$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x^3$ расположен выше графика функции $y=x^4$.
Ответ: График функции $y=x^3$ расположен выше.

г) $y = x^4$ и $y = x^5$

Сравним функции $y=x^4$ и $y=x^5$ на интервале $(0; 1)$.
Показатель степени у первой функции ($4$) меньше, чем у второй ($5$).
Рассмотрим их разность: $x^4 - x^5 = x^4(1-x)$.
Поскольку $x \in (0; 1)$, то $x^4 > 0$ и $(1-x) > 0$.
Произведение двух положительных сомножителей положительно, следовательно, $x^4(1-x) > 0$, что означает $x^4 > x^5$ на интервале $(0; 1)$.
Таким образом, график функции $y=x^4$ расположен выше графика функции $y=x^5$.
Ответ: График функции $y=x^4$ расположен выше.

3.18 Выясните, какой из графиков двух функций расположен выше другого на интервале $(1; +\infty)$:

а) $y = x$ и $y = x^2$;

б) $y = x^2$ и $y = x^3$;

в) $y = x^3$ и $y = x^4$;

г) $y = x^4$ и $y = x^5$.

Чтобы выяснить, какой из графиков двух функций расположен выше другого на интервале $(1; +\infty)$, необходимо сравнить значения этих функций для любого $x$ из этого интервала. График функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$, если для всех $x \in (1; +\infty)$ выполняется неравенство $f(x) > g(x)$.

а) Сравним функции $y = x$ и $y = x^2$ на интервале $(1; +\infty)$. Для этого решим неравенство $x^2 > x$.
Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
На интервале $(1; +\infty)$, то есть при $x > 1$, оба множителя $x$ и $(x - 1)$ являются положительными. Произведение двух положительных чисел всегда положительно, следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из данного интервала.
Это означает, что график функции $y=x^2$ расположен выше графика функции $y=x$.
Ответ: график функции $y=x^2$ расположен выше.

б) Сравним функции $y = x^2$ и $y = x^3$ на интервале $(1; +\infty)$. Для этого решим неравенство $x^3 > x^2$.
$x^3 - x^2 > 0$
$x^2(x - 1) > 0$
При $x > 1$ множитель $x^2$ всегда положителен. Множитель $(x - 1)$ также положителен. Их произведение положительно, значит, неравенство верно для всех $x \in (1; +\infty)$.
Это означает, что график функции $y=x^3$ расположен выше графика функции $y=x^2$.
Ответ: график функции $y=x^3$ расположен выше.

в) Сравним функции $y = x^3$ и $y = x^4$ на интервале $(1; +\infty)$. Для этого решим неравенство $x^4 > x^3$.
$x^4 - x^3 > 0$
$x^3(x - 1) > 0$
При $x > 1$ множитель $x^3$ положителен, и множитель $(x - 1)$ также положителен. Следовательно, их произведение больше нуля, и неравенство справедливо для всех $x \in (1; +\infty)$.
Это означает, что график функции $y=x^4$ расположен выше графика функции $y=x^3$.
Ответ: график функции $y=x^4$ расположен выше.

г) Сравним функции $y = x^4$ и $y = x^5$ на интервале $(1; +\infty)$. Для этого решим неравенство $x^5 > x^4$.
$x^5 - x^4 > 0$
$x^4(x - 1) > 0$
При $x > 1$ множитель $x^4$ положителен, и множитель $(x - 1)$ также положителен. Их произведение положительно, поэтому неравенство выполняется для всех $x \in (1; +\infty)$.
Это означает, что график функции $y=x^5$ расположен выше графика функции $y=x^4$.
Ответ: график функции $y=x^5$ расположен выше.

3.19* Выясните, какой из графиков трёх функций расположен выше, а какой расположен ниже других на интервале (-1; 0):

a) $y = x$, $y = x^3$, $y = x^5$;

б) $y = x^2$, $y = x^4$, $y = x^6$.

а) Рассмотрим функции $y = x$, $y = x^3$ и $y = x^5$ на интервале $x \in (-1; 0)$. Чтобы определить, какой график расположен выше, а какой ниже, нам нужно сравнить значения этих функций для одного и того же $x$ из данного интервала.
Пусть $x$ — произвольное число из интервала $(-1; 0)$. Тогда $x$ является отрицательным числом, а его модуль $|x|$ находится в интервале $(0; 1)$.
Для любого положительного числа $a < 1$ справедливо, что при увеличении степени значение уменьшается. Таким образом, для $|x| \in (0; 1)$ имеем: $|x| > |x|^3 > |x|^5$.
Поскольку $x$ в данном интервале отрицателен, то все три функции принимают отрицательные значения: $x = -|x|$, $x^3 = -|x|^3$, $x^5 = -|x|^5$.
Умножим неравенство для модулей на $-1$. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $-|x| < -|x|^3 < -|x|^5$.
Подставив обратно выражения для $x, x^3, x^5$, получаем: $x < x^3 < x^5$.
Это означает, что для любого $x \in (-1; 0)$ значение функции $y=x^5$ является наибольшим, а значение функции $y=x$ — наименьшим. Следовательно, график функции $y=x^5$ расположен выше других, а график функции $y=x$ — ниже других.
Ответ: На интервале $(-1; 0)$ график функции $y=x^5$ расположен выше других, а график функции $y=x$ расположен ниже других.

б) Рассмотрим функции $y = x^2$, $y = x^4$ и $y = x^6$ на интервале $x \in (-1; 0)$.
Пусть $x$ — произвольное число из этого интервала. Так как $x$ возводится в чётную степень, значения всех трёх функций будут положительными.
Сравним значения $x^2$, $x^4$ и $x^6$. Мы можем представить $x^4$ и $x^6$ как степени от $x^2$: $x^4 = (x^2)^2$ и $x^6 = (x^2)^3$.
Поскольку $x \in (-1; 0)$, то $x^2 \in (0; 1)$. Обозначим $z = x^2$, где $z \in (0; 1)$. Нам нужно сравнить $z$, $z^2$ и $z^3$.
Для любого числа $z$ из интервала $(0; 1)$ при возведении в большую степень результат уменьшается. Таким образом, справедливо неравенство: $z > z^2 > z^3$.
Подставив обратно $z=x^2$, получаем: $x^2 > x^4 > x^6$.
Это означает, что для любого $x \in (-1; 0)$ значение функции $y=x^2$ является наибольшим, а значение функции $y=x^6$ — наименьшим. Следовательно, график функции $y=x^2$ расположен выше других, а график функции $y=x^6$ — ниже других.
Ответ: На интервале $(-1; 0)$ график функции $y=x^2$ расположен выше других, а график функции $y=x^6$ расположен ниже других.

3.20* Выясните, какой из графиков трёх функций расположен выше, а какой расположен ниже других на интервале $(-\infty; -1)$:

а) $y = x$, $y = x^3$, $y = x^5$;

б) $y = x^2$, $y = x^4$, $y = x^6$.

Чтобы выяснить, какой из графиков расположен выше, а какой ниже, нужно сравнить значения функций на заданном интервале $(-\infty; -1)$.

а) $y = x, \quad y = x^3, \quad y = x^5$

Рассмотрим интервал $x \in (-\infty; -1)$. Возьмем любое число из этого интервала, например, $x = -2$.
Вычислим значения функций в этой точке:
$y = x = -2$
$y = x^3 = (-2)^3 = -8$
$y = x^5 = (-2)^5 = -32$
Сравнивая значения, получаем: $-2 > -8 > -32$.
Это означает, что для $x = -2$ график функции $y = x$ находится выше всех, а график функции $y = x^5$ — ниже всех.

Докажем это для всего интервала. Пусть $x < -1$.
Сравним $x$ и $x^3$. Рассмотрим их разность: $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$.
На интервале $(-\infty; -1)$ множители имеют следующие знаки:
$x < 0$
$x - 1 < 0$
$x + 1 < 0$
Произведение трех отрицательных чисел отрицательно, следовательно, $x^3 - x < 0$, что означает $x^3 < x$.
Теперь сравним $x^3$ и $x^5$. Рассмотрим их разность: $x^5 - x^3 = x^3(x^2 - 1) = x^3(x-1)(x+1)$.
На интервале $(-\infty; -1)$ множители имеют следующие знаки:
$x^3 < 0$ (так как $x$ отрицательный)
$x - 1 < 0$
$x + 1 < 0$
Произведение трех отрицательных чисел отрицательно, следовательно, $x^5 - x^3 < 0$, что означает $x^5 < x^3$.
Таким образом, для любого $x \in (-\infty; -1)$ выполняется неравенство $x^5 < x^3 < x$.

Ответ: на интервале $(-\infty; -1)$ график функции $y=x$ расположен выше других, а график функции $y=x^5$ — ниже других.

б) $y = x^2, \quad y = x^4, \quad y = x^6$

Рассмотрим интервал $x \in (-\infty; -1)$. Возьмем любое число из этого интервала, например, $x = -2$.
Вычислим значения функций в этой точке:
$y = x^2 = (-2)^2 = 4$
$y = x^4 = (-2)^4 = 16$
$y = x^6 = (-2)^6 = 64$
Сравнивая значения, получаем: $64 > 16 > 4$.
Это означает, что для $x = -2$ график функции $y = x^6$ находится выше всех, а график функции $y = x^2$ — ниже всех.

Докажем это для всего интервала. Пусть $x \in (-\infty; -1)$.
Это означает, что $x < -1$. Возводя в квадрат, получаем $x^2 > 1$.
Сравним $x^2$ и $x^4$. Рассмотрим их разность: $x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$.
На интервале $(-\infty; -1)$ множители имеют следующие знаки:
$x^2 > 0$ (как квадрат ненулевого числа)
$x^2 - 1 > 0$ (так как $x^2 > 1$)
Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $x^4 - x^2 > 0$, что означает $x^4 > x^2$.
Теперь сравним $x^4$ и $x^6$. Рассмотрим их разность: $x^6 - x^4 = x^4(x^2 - 1)$.
На интервале $(-\infty; -1)$ множители имеют следующие знаки:
$x^4 > 0$ (как четная степень ненулевого числа)
$x^2 - 1 > 0$
Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $x^6 - x^4 > 0$, что означает $x^6 > x^4$.
Таким образом, для любого $x \in (-\infty; -1)$ выполняется неравенство $x^2 < x^4 < x^6$.

Ответ: на интервале $(-\infty; -1)$ график функции $y=x^6$ расположен выше других, а график функции $y=x^2$ — ниже других.

3.21* Найдите все значения x, при каждом из которых выполняется неравенство:

а) $x < x^3 < x^5;$

б) $x > x^3 > x^5;$

в) $x^2 < x^4 < x^6;$

г) $x^2 > x^4 > x^6;$

д) $x^2 < x^3;$

е) $x^2 > x^3?$

а)

Данное двойное неравенство $x < x^3 < x^5$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x < x^3 \\ x^3 < x^5 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^3 - x > 0$

$x(x^2 - 1) > 0$

$x(x-1)(x+1) > 0$

Используя метод интервалов, находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $x(x-1)(x+1)$ на каждом интервале:

• При $x > 1$: $(+)(+)(+) = +$
• При $0 < x < 1$: $(+)(-)(+) = -$
• При $-1 < x < 0$: $(-)(-)(+) = +$
• При $x < -1$: $(-)(-)(-) = -$

Неравенство выполняется, когда выражение положительно, то есть при $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^5 - x^3 > 0$

$x^3(x^2 - 1) > 0$

$x^3(x-1)(x+1) > 0$

Знак множителя $x^3$ совпадает со знаком $x$. Поэтому данное неравенство эквивалентно предыдущему: $x(x-1)(x+1) > 0$. Его решение также $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, которое совпадает с решением каждого из них.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

б)

Неравенство $x > x^3 > x^5$ равносильно системе:

$\begin{cases} x > x^3 \\ x^3 > x^5 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x - x^3 > 0$

$x(1 - x^2) > 0$

$x(1-x)(1+x) > 0$

Умножив на -1, изменим знаки и неравенство: $x(x-1)(x+1) < 0$.

Используя результаты из пункта а), мы знаем, что это выражение отрицательно на интервалах $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Решим второе неравенство:

$x^3 - x^5 > 0$

$x^3(1 - x^2) > 0$

$x^3(1-x)(1+x) > 0$

Так как знак $x^3$ совпадает со знаком $x$, это неравенство эквивалентно неравенству $x(1-x^2) > 0$, которое мы уже решили. Его решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Решение системы является пересечением решений, то есть сам этот интервал.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

в)

В неравенстве $x^2 < x^4 < x^6$ все степени четные. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$y < y^2 < y^3$

Заметим, что $y$ не может быть равно 0, так как получилось бы $0 < 0 < 0$, что неверно. Значит, $y > 0$.

Разделим все части неравенства на положительное число $y$:

$1 < y < y^2$

Это двойное неравенство равносильно системе $\begin{cases} y > 1 \\ y < y^2 \end{cases}$.

Второе неравенство $y^2 - y > 0$ или $y(y-1) > 0$. Так как $y>0$, оно сводится к $y-1 > 0$, то есть $y>1$.

Таким образом, вся система равносильна одному неравенству $y > 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$x^2 > 1$

$x^2 - 1 > 0$

$(x-1)(x+1) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

г)

В неравенстве $x^2 > x^4 > x^6$ также все степени четные. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$y > y^2 > y^3$

При $y=0$ получаем $0 > 0 > 0$, что неверно. Значит, $y > 0$.

Разделим все части неравенства на положительное число $y$:

$1 > y > y^2$

Это двойное неравенство означает $0 < y < 1$. Если $0 < y < 1$, то $y^2 < y$, так что вторая часть неравенства $y > y^2$ выполняется автоматически.

Итак, нам нужно решить неравенство $0 < y < 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < x^2 < 1$

Это равносильно системе $\begin{cases} x^2 > 0 \\ x^2 < 1 \end{cases}$.

Первое неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.

Второе неравенство $x^2 < 1$ или $x^2 - 1 < 0$ или $(x-1)(x+1) < 0$ выполняется для $x \in (-1, 1)$.

Пересекая эти два условия ($x \neq 0$ и $x \in (-1, 1)$), получаем $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

д)

Решим неравенство $x^2 < x^3$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - x^2 > 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$x^2(x - 1) > 0$

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительны. То есть $x^2$ не должно быть равно нулю.

Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $x \neq 0$.

Из второго неравенства следует, что $x > 1$.

Пересечение этих условий дает $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.

е)

Решим неравенство $x^2 > x^3$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x^3 > 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$x^2(1 - x) > 0$

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительны, и $x^2$ не должно быть равно нулю.

Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $x \neq 0$.

Из второго неравенства следует, что $x < 1$.

Объединяя эти условия, получаем, что $x$ может быть любым числом меньше 1, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

3.22 Постройте график функции:

а) $y=x^{12}$;

б) $y=x^{21}$;

в) $y=x^{40}$;

г) $y=x^{55}$.

Для построения графиков данных функций проанализируем их свойства, которые зависят от показателя степени $n$ в уравнении $y=x^n$.

а) $y = x^{12}$

Это степенная функция, показатель степени которой $n=12$ — четное натуральное число. Проанализируем ее свойства.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность. Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^{12} = x^{12} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
3. Область значений. Поскольку любое число в четной степени неотрицательно, $y \ge 0$. Таким образом, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
4. Основные точки. График проходит через ключевые точки:
   • $(-1; 1)$, так как $(-1)^{12} = 1$.
   • $(0; 0)$, так как $0^{12} = 0$.
   • $(1; 1)$, так как $1^{12} = 1$.
5. Монотонность. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка $(0;0)$ является точкой минимума.

Построение графика. График функции $y=x^{12}$ напоминает параболу $y=x^2$, но имеет свои особенности. В интервале $(-1; 1)$ он проходит ниже графика $y=x^2$ и является более "плоским", прилегая к оси абсцисс. При $|x| > 1$ график, наоборот, поднимается вверх значительно круче, чем парабола $y=x^2$.

Ответ: График функции — это U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0;0)$. Она проходит через точки $(-1;1)$ и $(1;1)$. Ветви графика направлены вверх и расположены в I и II координатных четвертях.

б) $y = x^{21}$

Это степенная функция, показатель степени которой $n=21$ — нечетное натуральное число. Проанализируем ее свойства.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Нечетность. Функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^{21} = -x^{21} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат $(0;0)$.
3. Область значений. Область значений — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
4. Основные точки. График проходит через ключевые точки:
   • $(-1; -1)$, так как $(-1)^{21} = -1$.
   • $(0; 0)$, так как $0^{21} = 0$.
   • $(1; 1)$, так как $1^{21} = 1$.
5. Монотонность. Функция является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Построение графика. График функции $y=x^{21}$ похож на график кубической параболы $y=x^3$. В интервале $(-1; 1)$ он более "плоский" и прилегает к оси абсцисс. При $|x| > 1$ значения функции растут (или убывают) гораздо быстрее, чем у кубической параболы.

Ответ: График функции — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-1;-1)$, $(0;0)$ и $(1;1)$. Она расположена в I и III координатных четвертях и возрастает на всей числовой оси.

в) $y = x^{40}$

Показатель степени $n=40$ является четным числом. Следовательно, свойства этой функции аналогичны свойствам функции $y=x^{12}$ из пункта а).

• Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $[0; +\infty)$.
• График проходит через точки $(-1;1)$, $(0;0)$ и $(1;1)$.

Построение графика. Основное отличие от графика $y=x^{12}$ заключается в том, что из-за большего показателя степени, график $y=x^{40}$ еще сильнее "прижат" к оси OX в интервале $(-1;1)$ и еще круче устремляется вверх при $|x|>1$.

Ответ: График функции — это U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0;0)$, проходящая через точки $(-1;1)$ и $(1;1)$. Она имеет более плоское основание и более крутые ветви по сравнению с графиком $y=x^{12}$.

г) $y = x^{55}$

Показатель степени $n=55$ является нечетным числом. Следовательно, свойства этой функции аналогичны свойствам функции $y=x^{21}$ из пункта б).

• Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
• Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• График проходит через точки $(-1;-1)$, $(0;0)$ и $(1;1)$.
• Функция возрастает на всей области определения.

Построение графика. Основное отличие от графика $y=x^{21}$ в том, что график $y=x^{55}$ еще более "плоский" вблизи нуля в интервале $(-1;1)$ и еще круче возрастает при $x>1$ (и убывает при $x<-1$).

Ответ: График функции — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-1;-1)$, $(0;0)$ и $(1;1)$. Она возрастает на всей числовой оси и расположена в I и III четвертях. По сравнению с графиком $y=x^{21}$, она имеет более выраженный "перегиб" вблизи начала координат.