Номер 3.22, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.22, страница 100.

3.22 Постройте график функции:

а) $y=x^{12}$;

б) $y=x^{21}$;

в) $y=x^{40}$;

г) $y=x^{55}$.

Для построения графиков данных функций проанализируем их свойства, которые зависят от показателя степени $n$ в уравнении $y=x^n$.

а) $y = x^{12}$

Это степенная функция, показатель степени которой $n=12$ — четное натуральное число. Проанализируем ее свойства.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность. Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^{12} = x^{12} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
3. Область значений. Поскольку любое число в четной степени неотрицательно, $y \ge 0$. Таким образом, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
4. Основные точки. График проходит через ключевые точки:
   • $(-1; 1)$, так как $(-1)^{12} = 1$.
   • $(0; 0)$, так как $0^{12} = 0$.
   • $(1; 1)$, так как $1^{12} = 1$.
5. Монотонность. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка $(0;0)$ является точкой минимума.

Построение графика. График функции $y=x^{12}$ напоминает параболу $y=x^2$, но имеет свои особенности. В интервале $(-1; 1)$ он проходит ниже графика $y=x^2$ и является более "плоским", прилегая к оси абсцисс. При $|x| > 1$ график, наоборот, поднимается вверх значительно круче, чем парабола $y=x^2$.

Ответ: График функции — это U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0;0)$. Она проходит через точки $(-1;1)$ и $(1;1)$. Ветви графика направлены вверх и расположены в I и II координатных четвертях.

б) $y = x^{21}$

Это степенная функция, показатель степени которой $n=21$ — нечетное натуральное число. Проанализируем ее свойства.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Нечетность. Функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^{21} = -x^{21} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат $(0;0)$.
3. Область значений. Область значений — все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
4. Основные точки. График проходит через ключевые точки:
   • $(-1; -1)$, так как $(-1)^{21} = -1$.
   • $(0; 0)$, так как $0^{21} = 0$.
   • $(1; 1)$, так как $1^{21} = 1$.
5. Монотонность. Функция является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Построение графика. График функции $y=x^{21}$ похож на график кубической параболы $y=x^3$. В интервале $(-1; 1)$ он более "плоский" и прилегает к оси абсцисс. При $|x| > 1$ значения функции растут (или убывают) гораздо быстрее, чем у кубической параболы.

Ответ: График функции — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-1;-1)$, $(0;0)$ и $(1;1)$. Она расположена в I и III координатных четвертях и возрастает на всей числовой оси.

в) $y = x^{40}$

Показатель степени $n=40$ является четным числом. Следовательно, свойства этой функции аналогичны свойствам функции $y=x^{12}$ из пункта а).

• Функция четная, график симметричен относительно оси OY.
• Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $[0; +\infty)$.
• График проходит через точки $(-1;1)$, $(0;0)$ и $(1;1)$.

Построение графика. Основное отличие от графика $y=x^{12}$ заключается в том, что из-за большего показателя степени, график $y=x^{40}$ еще сильнее "прижат" к оси OX в интервале $(-1;1)$ и еще круче устремляется вверх при $|x|>1$.

Ответ: График функции — это U-образная кривая, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0;0)$, проходящая через точки $(-1;1)$ и $(1;1)$. Она имеет более плоское основание и более крутые ветви по сравнению с графиком $y=x^{12}$.

г) $y = x^{55}$

Показатель степени $n=55$ является нечетным числом. Следовательно, свойства этой функции аналогичны свойствам функции $y=x^{21}$ из пункта б).

• Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
• Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• График проходит через точки $(-1;-1)$, $(0;0)$ и $(1;1)$.
• Функция возрастает на всей области определения.

Построение графика. Основное отличие от графика $y=x^{21}$ в том, что график $y=x^{55}$ еще более "плоский" вблизи нуля в интервале $(-1;1)$ и еще круче возрастает при $x>1$ (и убывает при $x<-1$).

Ответ: График функции — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-1;-1)$, $(0;0)$ и $(1;1)$. Она возрастает на всей числовой оси и расположена в I и III четвертях. По сравнению с графиком $y=x^{21}$, она имеет более выраженный "перегиб" вблизи начала координат.