Номер 3.29, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.3. Понятие корня степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.29, страница 102.

3.29 Проверьте, что число:

а) 3 есть корень третьей степени из 27;

б) -0,5 есть корень четвёртой степени из 0,0625;

в) 7 — корень четвёртой степени из 2401;

г) $-1\frac{1}{3}$ — корень третьей степени из $-2\frac{10}{27}$.

а) Чтобы проверить, является ли число 3 корнем третьей степени из 27, необходимо возвести 3 в третью степень. По определению, корень n-ой степени из числа a – это такое число b, что $b^n = a$.
Выполним проверку: $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$.
Поскольку $3^3 = 27$, утверждение верно.
Ответ: Да, является.

б) Чтобы проверить, является ли число –0,5 корнем четвёртой степени из 0,0625, необходимо возвести –0,5 в четвёртую степень. Так как степень чётная, результат будет положительным.
Выполним проверку: $(-0,5)^4 = (-0,5) \times (-0,5) \times (-0,5) \times (-0,5) = 0,25 \times 0,25 = 0,0625$.
Поскольку $(-0,5)^4 = 0,0625$, утверждение верно.
Ответ: Да, является.

в) Чтобы проверить, является ли число 7 корнем четвёртой степени из 2401, необходимо возвести 7 в четвёртую степень.
Выполним проверку: $7^4 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 49 = 2401$.
Поскольку $7^4 = 2401$, утверждение верно.
Ответ: Да, является.

г) Чтобы проверить, является ли число $-1\frac{1}{3}$ корнем третьей степени из $-2\frac{10}{27}$, необходимо возвести $-1\frac{1}{3}$ в третью степень. Для удобства вычислений преобразуем смешанные дроби в неправильные.
$-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$
$-2\frac{10}{27} = -\frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = -\frac{54+10}{27} = -\frac{64}{27}$
Теперь возведем в степень: $(-\frac{4}{3})^3 = \frac{(-4)^3}{3^3} = \frac{-64}{27}$.
Полученный результат $-\frac{64}{27}$ равен второму числу. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Да, является.