Номер 3.34, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Корни четной и нечетной степеней. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.34, страница 105.

3.34° а) Сколько существует корней нечётной степени из любого действительного числа?

б) Может ли корень нечётной степени из положительного числа быть числом отрицательным?

в) Будет ли корень нечётной степени из отрицательного числа числом отрицательным?

г) Чему равен корень нечётной степени из нуля?

a) Корень нечётной степени $n$ из действительного числа $a$ — это такое действительное число $x$, которое удовлетворяет уравнению $x^n = a$, где $n$ — нечётное натуральное число ($n=1, 3, 5, \dots$).

Рассмотрим функцию $y=x^n$ для нечётного $n$. Эта функция определена для всех действительных чисел. Она является непрерывной и строго возрастающей на всей числовой оси, так как её производная $y' = nx^{n-1}$ неотрицательна (поскольку $n$ нечётное, $n-1$ — чётное, значит $x^{n-1} \ge 0$). Область значений этой функции — все действительные числа, то есть от $-\infty$ до $+\infty$.

Это означает, что для любого действительного значения $a$ горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y=x^n$ ровно в одной точке. Следовательно, уравнение $x^n=a$ всегда имеет единственный действительный корень.

Таким образом, из любого действительного числа существует ровно один действительный корень нечётной степени.

Ответ: один.

б) Пусть $a$ — положительное число ($a > 0$), и пусть $n$ — нечётное натуральное число. Корень нечётной степени из $a$, обозначенный как $x = \sqrt[n]{a}$, по определению является решением уравнения $x^n = a$.

Предположим, что этот корень $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$.

Поскольку $n$ — нечётное число, возведение отрицательного числа в нечётную степень всегда даёт в результате отрицательное число. Например, $(-2)^3 = -8$. Таким образом, если $x < 0$, то и $x^n < 0$.

Из этого следует, что $a = x^n$ также должно быть отрицательным числом ($a < 0$). Однако это противоречит исходному условию, что $a$ — положительное число ($a > 0$).

Следовательно, наше предположение неверно. Корень нечётной степени из положительного числа не может быть отрицательным числом. Он всегда будет положительным.

Ответ: нет, не может.

в) Пусть $a$ — отрицательное число ($a < 0$), и пусть $n$ — нечётное натуральное число. Корень нечётной степени из $a$ есть число $x = \sqrt[n]{a}$, которое является решением уравнения $x^n = a$.

Нам нужно определить знак числа $x$. Рассмотрим все возможные варианты для знака $x$.

Если предположить, что $x$ — положительное число ($x > 0$), то при возведении в любую натуральную степень $n$ результат также будет положительным: $x^n > 0$. Тогда и $a$ должно быть положительным ($a > 0$), что противоречит условию $a < 0$.

Если предположить, что $x = 0$, то $x^n = 0^n = 0$. Тогда и $a$ должно быть равно нулю ($a = 0$), что также противоречит условию $a < 0$.

Если предположить, что $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то при возведении в нечётную степень $n$ результат будет отрицательным: $x^n < 0$. Тогда и $a$ будет отрицательным ($a < 0$), что полностью соответствует условию задачи.

Из пункта (а) мы знаем, что действительный корень нечётной степени всегда существует и он единственный. Поскольку варианты с положительным и нулевым корнем приводят к противоречию, единственно возможным остаётся вариант с отрицательным корнем. Таким образом, корень нечётной степени из отрицательного числа всегда является отрицательным числом.

Ответ: да, будет.

г) Корень нечётной степени $n$ из нуля — это число $x = \sqrt[n]{0}$. По определению, это число $x$ должно удовлетворять уравнению $x^n = 0$, где $n$ — нечётное натуральное число.

Единственным действительным числом, которое при возведении в любую положительную целую степень даёт ноль, является само число ноль.

То есть, уравнение $x^n=0$ имеет единственный корень $x=0$.

Следовательно, корень любой нечётной (и, на самом деле, любой натуральной) степени из нуля равен нулю.

Ответ: нулю.