Номер 3.33, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.3. Понятие корня степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.33, страница 102.

3.33 Существует ли корень шестой степени из числа:

а) 1;
б) 0;
в) -1;
г) 1,2;
д) $-1,8 \cdot 10^6$;
е) $7,2 \cdot 10^{-6}$?

Единственный ли это корень (если он существует)?

Корень $n$-ой степени из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^n = a$. В данной задаче рассматривается корень шестой степени, то есть $n=6$. Поскольку показатель корня является четным числом, для действительных чисел существуют следующие правила:

• Если число $a$ положительное ($a > 0$), то существует два действительных корня четной степени $n$: положительный ($\sqrt[n]{a}$) и отрицательный ($-\sqrt[n]{a}$).
• Если число $a$ равно нулю ($a = 0$), то существует один действительный корень четной степени $n$, который равен нулю.
• Если число $a$ отрицательное ($a < 0$), то действительных корней четной степени $n$ не существует, так как любое действительное число в четной степени является неотрицательным.

Применим эти правила к каждому из пунктов задачи.

а) Число, из которого извлекается корень, равно 1. Так как $1 > 0$ и степень корня $n=6$ четная, то существует два действительных корня. Это числа 1 и -1, поскольку $1^6 = 1$ и $(-1)^6 = 1$. Таким образом, корень существует, но он не единственный.

Ответ: существует, не единственный (два корня: 1 и -1).

б) Число, из которого извлекается корень, равно 0. Так как степень корня $n=6$ четная, существует только один действительный корень, равный 0, поскольку $0^6 = 0$.

Ответ: существует, единственный (корень равен 0).

в) Число, из которого извлекается корень, равно -1. Так как $-1 < 0$ и степень корня $n=6$ четная, действительного корня шестой степени из отрицательного числа не существует.

Ответ: не существует.

г) Число, из которого извлекается корень, равно 1,2. Так как $1,2 > 0$ и степень корня $n=6$ четная, существует два действительных корня: положительный $\sqrt[6]{1,2}$ и отрицательный $-\sqrt[6]{1,2}$. Корень существует, но он не единственный.

Ответ: существует, не единственный.

д) Число, из которого извлекается корень, равно $-1,8 \cdot 10^6$. Это число отрицательное, так как $-1,8 < 0$ и $10^6 > 0$. Поскольку степень корня $n=6$ четная, действительного корня из отрицательного числа не существует.

Ответ: не существует.

е) Число, из которого извлекается корень, равно $7,2 \cdot 10^{-6}$. Это число положительное, так как $7,2 > 0$ и $10^{-6} > 0$. Поскольку степень корня $n=6$ четная, существует два действительных корня: положительный $\sqrt[6]{7,2 \cdot 10^{-6}}$ и отрицательный $-\sqrt[6]{7,2 \cdot 10^{-6}}$. Корень существует, но он не единственный.

Ответ: существует, не единственный.