Номер 3.31, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.3. Понятие корня степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.31, страница 102.

3.31 Найдите кубический корень из числа:

а) 1000;

б) 64 000 000;

в) 125 000 000 000;

г) -0,001;

д) $3\frac{3}{8}$;

е) $-1\frac{61}{64}$.

Докажите правильность решения.

а)

Чтобы найти кубический корень из 1000, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) дает 1000. Известно, что $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

$\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$

Доказательство:

Для проверки возведем полученный ответ 10 в куб: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Так как результат совпадает с исходным числом, решение верно.

Ответ: 10

б)

Представим число 64 000 000 в виде произведения чисел, из которых легко извлечь кубический корень: $64 \cdot 1 000 000$.

$\sqrt[3]{64 000 000} = \sqrt[3]{64 \cdot 1 000 000} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{1 000 000} = 4 \cdot 100 = 400$

Поскольку $\sqrt[3]{64} = 4$ (так как $4^3=64$) и $\sqrt[3]{1 000 000} = 100$ (так как $100^3=1 000 000$).

Доказательство:

Возведем 400 в куб: $400^3 = (4 \cdot 100)^3 = 4^3 \cdot 100^3 = 64 \cdot 1 000 000 = 64 000 000$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: 400

в)

Представим число 125 000 000 000 в виде произведения: $125 \cdot 1 000 000 000$.

$\sqrt[3]{125 000 000 000} = \sqrt[3]{125 \cdot 1 000 000 000} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{1 000 000 000} = 5 \cdot 1000 = 5000$

Поскольку $\sqrt[3]{125} = 5$ (так как $5^3=125$) и $\sqrt[3]{1 000 000 000} = 1000$ (так как $1000^3=1 000 000 000$).

Доказательство:

Возведем 5000 в куб: $5000^3 = (5 \cdot 1000)^3 = 5^3 \cdot 1000^3 = 125 \cdot 1 000 000 000 = 125 000 000 000$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: 5000

г)

Кубический корень из отрицательного числа является отрицательным числом. Число 0,001 можно представить как $0,1^3$.

$\sqrt[3]{-0,001} = -\sqrt[3]{0,001} = -\sqrt[3]{(0,1)^3} = -0,1$

Доказательство:

Возведем -0,1 в куб: $(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: -0,1

д)

Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь:

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$

Теперь извлечем кубический корень из дроби, используя свойство $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$:

$\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$

Доказательство:

Возведем результат $\frac{3}{2}$ в куб: $(\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $\frac{3}{2}$

е)

Сначала преобразуем отрицательное смешанное число $-1\frac{61}{64}$ в неправильную дробь:

$-1\frac{61}{64} = -\frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = -\frac{64+61}{64} = -\frac{125}{64}$

Теперь извлечем кубический корень из дроби:

$\sqrt[3]{-1\frac{61}{64}} = \sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = -\sqrt[3]{\frac{125}{64}} = -\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = -\frac{5}{4}$

Доказательство:

Возведем результат $-\frac{5}{4}$ в куб: $(-\frac{5}{4})^3 = \frac{(-5)^3}{4^3} = \frac{-125}{64}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $-\frac{125}{64} = -1\frac{61}{64}$. Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $-\frac{5}{4}$