Номер 3.38, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.4. Корни четной и нечетной степеней - номер 3.38, страница 105.

Условие.

3.38 a) Как обозначают положительный корень чётной степени из положительного числа? Приведите пример.

б) Как обозначают отрицательный корень чётной степени из положительного числа? Приведите пример.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Положительный корень чётной степени из положительного числа называется арифметическим корнем. Для его обозначения используется знак радикала $\sqrt{\phantom{a}}$. В общем виде, если дано положительное число $a$ и чётное натуральное число $n$ ($n=2k, k \in \mathbb{N}$), то положительный корень $n$-й степени из $a$ обозначается как $\sqrt[n]{a}$. Это такое положительное число $b$, которое при возведении в степень $n$ даёт в результате число $a$. То есть, $\sqrt[n]{a} = b$ при условиях $b > 0$ и $b^n = a$.

Пример: Положительный корень четвертой степени (4 — чётное число) из положительного числа 81 обозначается как $\sqrt[4]{81}$. Значение этого выражения равно 3, поскольку $3 > 0$ и $3^4 = 81$.

Ответ: Положительный корень чётной степени $n$ из положительного числа $a$ обозначают как $\sqrt[n]{a}$. Например, $\sqrt[4]{16} = 2$.

б) Уравнение вида $x^n=a$, где $n$ — чётное натуральное число и $a$ — положительное число, имеет два действительных корня: положительный ($\sqrt[n]{a}$) и отрицательный. Отрицательный корень является числом, противоположным положительному (арифметическому) корню. Для его обозначения используется знак радикала со знаком "минус" перед ним.

В общем виде, отрицательный корень $n$-й степени из положительного числа $a$ обозначается как $-\sqrt[n]{a}$. Это такое отрицательное число $c$, что $c^n=a$.

Пример: Отрицательный корень четвертой степени из положительного числа 81 обозначается как $-\sqrt[4]{81}$. Значение этого выражения равно -3, поскольку $-3 < 0$ и $(-3)^4 = 81$.

Ответ: Отрицательный корень чётной степени $n$ из положительного числа $a$ обозначают как $-\sqrt[n]{a}$. Например, $-\sqrt[4]{16} = -2$.