Номер 3.39, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Корни четной и нечетной степеней. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.39, страница 105.

3.39° Почему не существует корней чётной степени из отрицательного числа?

Вопрос о существовании корней чётной степени из отрицательных чисел напрямую связан с фундаментальными свойствами операции возведения в степень в множестве действительных (вещественных) чисел.

По определению, корень $n$-ой степени из числа $a$ — это такое число $x$, которое при возведении в степень $n$ даёт число $a$. Это записывается как $x = \sqrt[n]{a}$, что эквивалентно равенству $x^n = a$.

Рассмотрим случай, когда степень корня $n$ является чётным числом. Пусть $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Мы хотим найти значение выражения $\sqrt[2k]{a}$, где $a$ — отрицательное число ($a < 0$).

Давайте проанализируем, каким может быть результат возведения любого действительного числа $x$ в чётную степень $2k$:

• Если число $x$ положительное ($x > 0$), то его чётная степень $x^{2k}$ также будет положительной. Например, $2^4 = 16$.
• Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то при возведении в чётную степень "минус" исчезает. Например, $(-2)^4 = (-1)^4 \cdot 2^4 = 1 \cdot 16 = 16$. В общем виде, $x^{2k} = |x|^{2k} > 0$.
• Если $x = 0$, то $x^{2k} = 0$.

Таким образом, мы приходим к важнейшему выводу: любое действительное число, возведённое в чётную степень, даёт в результате неотрицательное число (то есть число, которое больше или равно нулю). Математически это можно записать так: для любого действительного числа $x$ и натурального $k$, $x^{2k} \ge 0$.

Теперь вернемся к нашей задаче: найти $x = \sqrt[2k]{a}$, где $a < 0$. По определению, это означало бы, что должно выполняться равенство $x^{2k} = a$. Но здесь возникает логическое противоречие:

• Левая часть равенства, $x^{2k}$, не может быть отрицательной ($x^{2k} \ge 0$).
• Правая часть равенства, $a$, по условию является отрицательной ($a < 0$).

Равенство между неотрицательным и отрицательным числом невозможно. Следовательно, не существует такого действительного числа $x$, которое удовлетворяло бы этому условию.

Именно поэтому в множестве действительных чисел операция извлечения корня чётной степени из отрицательного числа не определена.

Важное замечание: В математике существует расширение множества действительных чисел — это множество комплексных чисел. В нём данная проблема решается, и корень чётной степени из отрицательного числа извлечь можно. Например, $\sqrt{-1}$ в комплексных числах равен мнимой единице $i$. Однако в рамках стандартного школьного курса алгебры, который оперирует только действительными числами, такое действие считается невозможным.

Ответ: В множестве действительных чисел не существует корней чётной степени из отрицательного числа, так как возведение любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) в чётную степень всегда даёт неотрицательный результат ($\ge 0$). Следовательно, невозможно найти такое действительное число $x$, для которого равенство $x^n = a$ было бы верным, если $n$ — чётное, а $a$ — отрицательное.