Номер 3.23, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.3. Понятие корня степени n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.23, страница 101.

3.23° Что называют:

а) квадратным корнем;

б) кубическим корнем;

в) корнем пятой степени;

г) корнем $n$-й степени

из числа $b$?

а) квадратным корнем

Квадратным корнем из числа $b$ называют число, квадрат которого (то есть вторая степень) равен числу $b$. Если обозначить квадратный корень буквой $x$, то по определению должно выполняться равенство $x^2 = b$.

Например, для числа $b = 25$ квадратными корнями являются числа $x = 5$ и $x = -5$, поскольку $5^2 = 25$ и $(-5)^2 = 25$. Неотрицательный квадратный корень называют арифметическим квадратным корнем и обозначают символом $\sqrt{b}$. Если $b < 0$, то действительных квадратных корней из него не существует.

Ответ: Квадратным корнем из числа $b$ называют число $x$, для которого выполняется равенство $x^2 = b$.

б) кубическим корнем

Кубическим корнем из числа $b$ называют число, куб которого (то есть третья степень) равен числу $b$. Если обозначить кубический корень буквой $x$, то по определению должно выполняться равенство $x^3 = b$. Кубический корень обозначается как $\sqrt[3]{b}$.

Для любого действительного числа $b$ существует только один действительный кубический корень. Например, кубическим корнем из $b = 8$ является число $x = 2$, так как $2^3 = 8$. Кубическим корнем из $b = -27$ является число $x = -3$, так как $(-3)^3 = -27$.

Ответ: Кубическим корнем из числа $b$ называют число $x$, для которого выполняется равенство $x^3 = b$.

в) корнем пятой степени

Корнем пятой степени из числа $b$ называют число, пятая степень которого равна числу $b$. Если обозначить корень пятой степени буквой $x$, то по определению должно выполняться равенство $x^5 = b$. Корень пятой степени обозначается как $\sqrt[5]{b}$.

Поскольку показатель степени 5 — нечетное число, для любого действительного числа $b$ существует ровно один действительный корень пятой степени. Например, корнем пятой степени из $b = 243$ является число $x = 3$, так как $3^5 = 243$.

Ответ: Корнем пятой степени из числа $b$ называют число $x$, для которого выполняется равенство $x^5 = b$.

г) корнем n-й степени

Корнем $n$-й степени из числа $b$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называют число, $n$-я степень которого равна числу $b$. Если обозначить корень $n$-й степени буквой $x$, то по определению должно выполняться равенство $x^n = b$.

Число $n$ называют показателем корня. Корень $n$-й степени из $b$ обозначается как $\sqrt[n]{b}$ (при $n=2$ показатель корня принято не писать: $\sqrt{b}$). Понятия "квадратный корень", "кубический корень" и "корень пятой степени" являются частными случаями корня $n$-й степени при $n=2$, $n=3$ и $n=5$ соответственно.

Количество действительных корней $n$-й степени из числа $b$ зависит от четности показателя $n$ и знака числа $b$:

• Если $n$ — четное число и $b > 0$, существует два действительных корня, которые являются противоположными числами.
• Если $n$ — четное число и $b = 0$, существует один корень, равный нулю.
• Если $n$ — четное число и $b < 0$, действительных корней не существует.
• Если $n$ — нечетное число, то для любого действительного числа $b$ существует ровно один действительный корень.

Ответ: Корнем $n$-й степени из числа $b$ (где $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$) называют число $x$, для которого выполняется равенство $x^n = b$.