Номер 3.16, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.2. Функция y=x^n - номер 3.16, страница 100.

Условие.

3.16 В одной системе координат постройте графики функций:

a) $y = x^2$, $y = x^4$, $y = x^6$;

б) $y = x$, $y = x^3$, $y = x^5$;

в) $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = x^2, y = x^4, y = x^6$

Для построения графиков функций $y=x^2$, $y=x^4$ и $y=x^6$ в одной системе координат, проанализируем их свойства.

Общие свойства:

• Все три функции — степенные с четным натуральным показателем.
• Область определения для всех функций — вся числовая прямая: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Все функции являются четными, так как $f(-x) = (-x)^{2k} = x^{2k} = f(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси ординат (Oy).
• Область значений для всех функций — неотрицательные числа: $E(y) = [0; +\infty)$. Графики расположены в верхней полуплоскости.
• Все три графика проходят через три общие точки: $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
  При $x=0$, $y=0$ для всех трех функций.
  При $x=1$, $y=1$ для всех трех функций.
  При $x=-1$, $y=1$ для всех трех функций.

Сравнительное расположение графиков:

• На интервале $(-1, 1)$, при $|x| < 1$, чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Таким образом, для $x \in (-1, 1)$ и $x \neq 0$ выполняется неравенство $x^6 < x^4 < x^2$. Вблизи нуля график с большим показателем степени будет "более плоским" и расположен ближе к оси абсцисс (Ox).
• При $|x| > 1$, чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Таким образом, для $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ выполняется неравенство $x^6 > x^4 > x^2$. При удалении от нуля график с большим показателем степени растет быстрее и расположен выше других.

Таким образом, все три графика представляют собой параболообразные кривые, симметричные относительно оси Oy и проходящие через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График $y=x^6$ будет "уже и круче" графика $y=x^4$ при $|x|>1$ и "шире и более плоским" при $|x|<1$. Аналогичное соотношение наблюдается между $y=x^4$ и $y=x^2$.

Ответ: Графики всех трех функций — это кривые, похожие на параболу $y=x^2$, симметричные относительно оси Oy. Они пересекаются в точках $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. С увеличением показателя степени (от 2 до 6) график становится более плоским на интервале $(-1, 1)$ и более крутым за его пределами.

---

б) $y = x, y = x^3, y = x^5$

Для построения графиков функций $y=x$, $y=x^3$ и $y=x^5$ в одной системе координат, проанализируем их свойства.

Общие свойства:

• Все три функции — степенные с нечетным натуральным показателем.
• Область определения и область значений для всех функций — вся числовая прямая: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Все функции являются нечетными, так как $f(-x) = (-x)^{2k+1} = -x^{2k+1} = -f(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно начала координат, точки $(0, 0)$.
• Все три графика проходят через три общие точки: $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Сравнительное расположение графиков:

• График $y=x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.
• На интервале $(0, 1)$, чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Таким образом, для $x \in (0, 1)$ выполняется неравенство $x^5 < x^3 < x$. График $y=x^5$ лежит ниже графика $y=x^3$, который, в свою очередь, лежит ниже прямой $y=x$.
• При $x > 1$, чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Таким образом, для $x \in (1, +\infty)$ выполняется неравенство $x^5 > x^3 > x$. График $y=x^5$ растет быстрее всего и лежит выше остальных.
• В силу нечетности функций, на интервале $(-1, 0)$ выполняется неравенство $x < x^3 < x^5 < 0$. График $y=x^5$ лежит выше (ближе к оси Ox) графика $y=x^3$, а тот, в свою очередь, выше графика $y=x$.
• При $x < -1$ выполняется неравенство $x^5 < x^3 < x < 0$. График $y=x^5$ убывает быстрее всего и лежит ниже остальных.

Графики $y=x^3$ и $y=x^5$ известны как кубические параболы. С увеличением показателя степени график становится "более плоским" вблизи начала координат и "более крутым" при удалении от него.

Ответ: Графики всех трех функций симметричны относительно начала координат и пересекаются в точках $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График $y=x$ — прямая. Графики $y=x^3$ и $y=x^5$ — кубические параболы. С увеличением нечетного показателя степени график сильнее "прижимается" к оси Ox на интервале $(-1, 1)$ и растет/убывает более круто за его пределами.

---

в) $y = x, y = x^2, y = x^3$

Для построения графиков функций $y=x$, $y=x^2$ и $y=x^3$ в одной системе координат, проанализируем их свойства и взаимное расположение.

Свойства и точки пересечения:

• $y=x$ (линейная): нечетная функция, график - прямая, симметричен относительно начала координат.
• $y=x^2$ (квадратичная): четная функция, график - парабола, симметричен относительно оси Oy.
• $y=x^3$ (кубическая): нечетная функция, график - кубическая парабола, симметричен относительно начала координат.
• Все три графика пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
• Графики $y=x$ и $y=x^3$ также пересекаются в точке $(-1, -1)$.

Сравнительное расположение графиков:

• При $x > 1$: $x^3 > x^2 > x$. График $y=x^3$ лежит выше всех, а график $y=x$ — ниже всех.
• На интервале $x \in (0, 1)$: $x > x^2 > x^3$. График $y=x$ лежит выше всех, а график $y=x^3$ — ниже всех.
• На интервале $x \in (-1, 0)$:
  - $y=x^2$ принимает положительные значения (график во II четверти, выше оси Ox).
  - $y=x$ и $y=x^3$ принимают отрицательные значения (графики в III четверти, ниже оси Ox).
  - В этом интервале выполняется $x < x^3 < 0$, поэтому график $y=x^3$ лежит выше графика $y=x$.
• При $x = -1$: $y=x=-1$, $y=x^2=1$, $y=x^3=-1$.
• При $x < -1$:
  - $y=x^2$ положительна (график во II четверти).
  - $y=x$ и $y=x^3$ отрицательны (графики в III четверти).
  - В этом интервале выполняется $x^3 < x < 0$, поэтому график $y=x^3$ лежит ниже графика $y=x$.

Ответ: В одной системе координат строятся прямая $y=x$, парабола $y=x^2$ и кубическая парабола $y=x^3$. Все они пересекаются в точках $(0,0)$ и $(1,1)$. В первой четверти ($x>0$) их взаимное расположение меняется в точке $x=1$: до нее ($0<x<1$) выше всех прямая $y=x$, ниже всех — кубическая парабола $y=x^3$; после нее ($x>1$) наоборот. Во второй и третьей четвертях ($x<0$) график параболы $y=x^2$ всегда лежит выше остальных. Графики $y=x$ и $y=x^3$ пересекаются в точке $(-1,-1)$, меняя свое взаимное расположение: при $x \in (-1, 0)$ график $y=x^3$ выше, а при $x < -1$ — ниже графика $y=x$.