Номер 3.20, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.2. Функция y=x^n - номер 3.20, страница 100.

Условие.

3.20* Выясните, какой из графиков трёх функций расположен выше, а какой расположен ниже других на интервале $(-\infty; -1)$:

а) $y = x$, $y = x^3$, $y = x^5$;

б) $y = x^2$, $y = x^4$, $y = x^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы выяснить, какой из графиков расположен выше, а какой ниже, нужно сравнить значения функций на заданном интервале $(-\infty; -1)$.

а) $y = x, \quad y = x^3, \quad y = x^5$

Рассмотрим интервал $x \in (-\infty; -1)$. Возьмем любое число из этого интервала, например, $x = -2$.
Вычислим значения функций в этой точке:
$y = x = -2$
$y = x^3 = (-2)^3 = -8$
$y = x^5 = (-2)^5 = -32$
Сравнивая значения, получаем: $-2 > -8 > -32$.
Это означает, что для $x = -2$ график функции $y = x$ находится выше всех, а график функции $y = x^5$ — ниже всех.

Докажем это для всего интервала. Пусть $x < -1$.
Сравним $x$ и $x^3$. Рассмотрим их разность: $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$.
На интервале $(-\infty; -1)$ множители имеют следующие знаки:
$x < 0$
$x - 1 < 0$
$x + 1 < 0$
Произведение трех отрицательных чисел отрицательно, следовательно, $x^3 - x < 0$, что означает $x^3 < x$.
Теперь сравним $x^3$ и $x^5$. Рассмотрим их разность: $x^5 - x^3 = x^3(x^2 - 1) = x^3(x-1)(x+1)$.
На интервале $(-\infty; -1)$ множители имеют следующие знаки:
$x^3 < 0$ (так как $x$ отрицательный)
$x - 1 < 0$
$x + 1 < 0$
Произведение трех отрицательных чисел отрицательно, следовательно, $x^5 - x^3 < 0$, что означает $x^5 < x^3$.
Таким образом, для любого $x \in (-\infty; -1)$ выполняется неравенство $x^5 < x^3 < x$.

Ответ: на интервале $(-\infty; -1)$ график функции $y=x$ расположен выше других, а график функции $y=x^5$ — ниже других.

б) $y = x^2, \quad y = x^4, \quad y = x^6$

Рассмотрим интервал $x \in (-\infty; -1)$. Возьмем любое число из этого интервала, например, $x = -2$.
Вычислим значения функций в этой точке:
$y = x^2 = (-2)^2 = 4$
$y = x^4 = (-2)^4 = 16$
$y = x^6 = (-2)^6 = 64$
Сравнивая значения, получаем: $64 > 16 > 4$.
Это означает, что для $x = -2$ график функции $y = x^6$ находится выше всех, а график функции $y = x^2$ — ниже всех.

Докажем это для всего интервала. Пусть $x \in (-\infty; -1)$.
Это означает, что $x < -1$. Возводя в квадрат, получаем $x^2 > 1$.
Сравним $x^2$ и $x^4$. Рассмотрим их разность: $x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$.
На интервале $(-\infty; -1)$ множители имеют следующие знаки:
$x^2 > 0$ (как квадрат ненулевого числа)
$x^2 - 1 > 0$ (так как $x^2 > 1$)
Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $x^4 - x^2 > 0$, что означает $x^4 > x^2$.
Теперь сравним $x^4$ и $x^6$. Рассмотрим их разность: $x^6 - x^4 = x^4(x^2 - 1)$.
На интервале $(-\infty; -1)$ множители имеют следующие знаки:
$x^4 > 0$ (как четная степень ненулевого числа)
$x^2 - 1 > 0$
Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $x^6 - x^4 > 0$, что означает $x^6 > x^4$.
Таким образом, для любого $x \in (-\infty; -1)$ выполняется неравенство $x^2 < x^4 < x^6$.

Ответ: на интервале $(-\infty; -1)$ график функции $y=x^6$ расположен выше других, а график функции $y=x^2$ — ниже других.