Номер 3.19, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 3. Корень степени n. 3.2. Функция y=x^n - номер 3.19, страница 100.

Условие.

3.19* Выясните, какой из графиков трёх функций расположен выше, а какой расположен ниже других на интервале (-1; 0):

a) $y = x$, $y = x^3$, $y = x^5$;

б) $y = x^2$, $y = x^4$, $y = x^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассмотрим функции $y = x$, $y = x^3$ и $y = x^5$ на интервале $x \in (-1; 0)$. Чтобы определить, какой график расположен выше, а какой ниже, нам нужно сравнить значения этих функций для одного и того же $x$ из данного интервала.
Пусть $x$ — произвольное число из интервала $(-1; 0)$. Тогда $x$ является отрицательным числом, а его модуль $|x|$ находится в интервале $(0; 1)$.
Для любого положительного числа $a < 1$ справедливо, что при увеличении степени значение уменьшается. Таким образом, для $|x| \in (0; 1)$ имеем: $|x| > |x|^3 > |x|^5$.
Поскольку $x$ в данном интервале отрицателен, то все три функции принимают отрицательные значения: $x = -|x|$, $x^3 = -|x|^3$, $x^5 = -|x|^5$.
Умножим неравенство для модулей на $-1$. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $-|x| < -|x|^3 < -|x|^5$.
Подставив обратно выражения для $x, x^3, x^5$, получаем: $x < x^3 < x^5$.
Это означает, что для любого $x \in (-1; 0)$ значение функции $y=x^5$ является наибольшим, а значение функции $y=x$ — наименьшим. Следовательно, график функции $y=x^5$ расположен выше других, а график функции $y=x$ — ниже других.
Ответ: На интервале $(-1; 0)$ график функции $y=x^5$ расположен выше других, а график функции $y=x$ расположен ниже других.

б) Рассмотрим функции $y = x^2$, $y = x^4$ и $y = x^6$ на интервале $x \in (-1; 0)$.
Пусть $x$ — произвольное число из этого интервала. Так как $x$ возводится в чётную степень, значения всех трёх функций будут положительными.
Сравним значения $x^2$, $x^4$ и $x^6$. Мы можем представить $x^4$ и $x^6$ как степени от $x^2$: $x^4 = (x^2)^2$ и $x^6 = (x^2)^3$.
Поскольку $x \in (-1; 0)$, то $x^2 \in (0; 1)$. Обозначим $z = x^2$, где $z \in (0; 1)$. Нам нужно сравнить $z$, $z^2$ и $z^3$.
Для любого числа $z$ из интервала $(0; 1)$ при возведении в большую степень результат уменьшается. Таким образом, справедливо неравенство: $z > z^2 > z^3$.
Подставив обратно $z=x^2$, получаем: $x^2 > x^4 > x^6$.
Это означает, что для любого $x \in (-1; 0)$ значение функции $y=x^2$ является наибольшим, а значение функции $y=x^6$ — наименьшим. Следовательно, график функции $y=x^2$ расположен выше других, а график функции $y=x^6$ — ниже других.
Ответ: На интервале $(-1; 0)$ график функции $y=x^2$ расположен выше других, а график функции $y=x^6$ расположен ниже других.