Номер 3.19, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.19, страница 100.
№3.19 (с. 100)
Условие. №3.19 (с. 100)
скриншот условия

3.19* Выясните, какой из графиков трёх функций расположен выше, а какой расположен ниже других на интервале (-1; 0):
a) $y = x$, $y = x^3$, $y = x^5$;
б) $y = x^2$, $y = x^4$, $y = x^6$.
Решение 1. №3.19 (с. 100)


Решение 2. №3.19 (с. 100)

Решение 3. №3.19 (с. 100)

Решение 4. №3.19 (с. 100)

Решение 5. №3.19 (с. 100)
а) Рассмотрим функции $y = x$, $y = x^3$ и $y = x^5$ на интервале $x \in (-1; 0)$. Чтобы определить, какой график расположен выше, а какой ниже, нам нужно сравнить значения этих функций для одного и того же $x$ из данного интервала.
Пусть $x$ — произвольное число из интервала $(-1; 0)$. Тогда $x$ является отрицательным числом, а его модуль $|x|$ находится в интервале $(0; 1)$.
Для любого положительного числа $a < 1$ справедливо, что при увеличении степени значение уменьшается. Таким образом, для $|x| \in (0; 1)$ имеем: $|x| > |x|^3 > |x|^5$.
Поскольку $x$ в данном интервале отрицателен, то все три функции принимают отрицательные значения: $x = -|x|$, $x^3 = -|x|^3$, $x^5 = -|x|^5$.
Умножим неравенство для модулей на $-1$. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $-|x| < -|x|^3 < -|x|^5$.
Подставив обратно выражения для $x, x^3, x^5$, получаем: $x < x^3 < x^5$.
Это означает, что для любого $x \in (-1; 0)$ значение функции $y=x^5$ является наибольшим, а значение функции $y=x$ — наименьшим. Следовательно, график функции $y=x^5$ расположен выше других, а график функции $y=x$ — ниже других.
Ответ: На интервале $(-1; 0)$ график функции $y=x^5$ расположен выше других, а график функции $y=x$ расположен ниже других.
б) Рассмотрим функции $y = x^2$, $y = x^4$ и $y = x^6$ на интервале $x \in (-1; 0)$.
Пусть $x$ — произвольное число из этого интервала. Так как $x$ возводится в чётную степень, значения всех трёх функций будут положительными.
Сравним значения $x^2$, $x^4$ и $x^6$. Мы можем представить $x^4$ и $x^6$ как степени от $x^2$: $x^4 = (x^2)^2$ и $x^6 = (x^2)^3$.
Поскольку $x \in (-1; 0)$, то $x^2 \in (0; 1)$. Обозначим $z = x^2$, где $z \in (0; 1)$. Нам нужно сравнить $z$, $z^2$ и $z^3$.
Для любого числа $z$ из интервала $(0; 1)$ при возведении в большую степень результат уменьшается. Таким образом, справедливо неравенство: $z > z^2 > z^3$.
Подставив обратно $z=x^2$, получаем: $x^2 > x^4 > x^6$.
Это означает, что для любого $x \in (-1; 0)$ значение функции $y=x^2$ является наибольшим, а значение функции $y=x^6$ — наименьшим. Следовательно, график функции $y=x^2$ расположен выше других, а график функции $y=x^6$ — ниже других.
Ответ: На интервале $(-1; 0)$ график функции $y=x^2$ расположен выше других, а график функции $y=x^6$ расположен ниже других.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.19 расположенного на странице 100 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.19 (с. 100), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.