Номер 3.18, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.18, страница 100.

3.18 Выясните, какой из графиков двух функций расположен выше другого на интервале $(1; +\infty)$:

а) $y = x$ и $y = x^2$;

б) $y = x^2$ и $y = x^3$;

в) $y = x^3$ и $y = x^4$;

г) $y = x^4$ и $y = x^5$.

Чтобы выяснить, какой из графиков двух функций расположен выше другого на интервале $(1; +\infty)$, необходимо сравнить значения этих функций для любого $x$ из этого интервала. График функции $f(x)$ расположен выше графика функции $g(x)$, если для всех $x \in (1; +\infty)$ выполняется неравенство $f(x) > g(x)$.

а) Сравним функции $y = x$ и $y = x^2$ на интервале $(1; +\infty)$. Для этого решим неравенство $x^2 > x$.
Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
На интервале $(1; +\infty)$, то есть при $x > 1$, оба множителя $x$ и $(x - 1)$ являются положительными. Произведение двух положительных чисел всегда положительно, следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из данного интервала.
Это означает, что график функции $y=x^2$ расположен выше графика функции $y=x$.
Ответ: график функции $y=x^2$ расположен выше.

б) Сравним функции $y = x^2$ и $y = x^3$ на интервале $(1; +\infty)$. Для этого решим неравенство $x^3 > x^2$.
$x^3 - x^2 > 0$
$x^2(x - 1) > 0$
При $x > 1$ множитель $x^2$ всегда положителен. Множитель $(x - 1)$ также положителен. Их произведение положительно, значит, неравенство верно для всех $x \in (1; +\infty)$.
Это означает, что график функции $y=x^3$ расположен выше графика функции $y=x^2$.
Ответ: график функции $y=x^3$ расположен выше.

в) Сравним функции $y = x^3$ и $y = x^4$ на интервале $(1; +\infty)$. Для этого решим неравенство $x^4 > x^3$.
$x^4 - x^3 > 0$
$x^3(x - 1) > 0$
При $x > 1$ множитель $x^3$ положителен, и множитель $(x - 1)$ также положителен. Следовательно, их произведение больше нуля, и неравенство справедливо для всех $x \in (1; +\infty)$.
Это означает, что график функции $y=x^4$ расположен выше графика функции $y=x^3$.
Ответ: график функции $y=x^4$ расположен выше.

г) Сравним функции $y = x^4$ и $y = x^5$ на интервале $(1; +\infty)$. Для этого решим неравенство $x^5 > x^4$.
$x^5 - x^4 > 0$
$x^4(x - 1) > 0$
При $x > 1$ множитель $x^4$ положителен, и множитель $(x - 1)$ также положителен. Их произведение положительно, поэтому неравенство выполняется для всех $x \in (1; +\infty)$.
Это означает, что график функции $y=x^5$ расположен выше графика функции $y=x^4$.
Ответ: график функции $y=x^5$ расположен выше.