Номер 3.21, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.2. Функция y=x^n. § 3. Корень степени n. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 3.21, страница 100.

3.21* Найдите все значения x, при каждом из которых выполняется неравенство:

а) $x < x^3 < x^5;$

б) $x > x^3 > x^5;$

в) $x^2 < x^4 < x^6;$

г) $x^2 > x^4 > x^6;$

д) $x^2 < x^3;$

е) $x^2 > x^3?$

а)

Данное двойное неравенство $x < x^3 < x^5$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x < x^3 \\ x^3 < x^5 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^3 - x > 0$

$x(x^2 - 1) > 0$

$x(x-1)(x+1) > 0$

Используя метод интервалов, находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $x(x-1)(x+1)$ на каждом интервале:

• При $x > 1$: $(+)(+)(+) = +$
• При $0 < x < 1$: $(+)(-)(+) = -$
• При $-1 < x < 0$: $(-)(-)(+) = +$
• При $x < -1$: $(-)(-)(-) = -$

Неравенство выполняется, когда выражение положительно, то есть при $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^5 - x^3 > 0$

$x^3(x^2 - 1) > 0$

$x^3(x-1)(x+1) > 0$

Знак множителя $x^3$ совпадает со знаком $x$. Поэтому данное неравенство эквивалентно предыдущему: $x(x-1)(x+1) > 0$. Его решение также $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, которое совпадает с решением каждого из них.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.

б)

Неравенство $x > x^3 > x^5$ равносильно системе:

$\begin{cases} x > x^3 \\ x^3 > x^5 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x - x^3 > 0$

$x(1 - x^2) > 0$

$x(1-x)(1+x) > 0$

Умножив на -1, изменим знаки и неравенство: $x(x-1)(x+1) < 0$.

Используя результаты из пункта а), мы знаем, что это выражение отрицательно на интервалах $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Решим второе неравенство:

$x^3 - x^5 > 0$

$x^3(1 - x^2) > 0$

$x^3(1-x)(1+x) > 0$

Так как знак $x^3$ совпадает со знаком $x$, это неравенство эквивалентно неравенству $x(1-x^2) > 0$, которое мы уже решили. Его решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Решение системы является пересечением решений, то есть сам этот интервал.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

в)

В неравенстве $x^2 < x^4 < x^6$ все степени четные. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$y < y^2 < y^3$

Заметим, что $y$ не может быть равно 0, так как получилось бы $0 < 0 < 0$, что неверно. Значит, $y > 0$.

Разделим все части неравенства на положительное число $y$:

$1 < y < y^2$

Это двойное неравенство равносильно системе $\begin{cases} y > 1 \\ y < y^2 \end{cases}$.

Второе неравенство $y^2 - y > 0$ или $y(y-1) > 0$. Так как $y>0$, оно сводится к $y-1 > 0$, то есть $y>1$.

Таким образом, вся система равносильна одному неравенству $y > 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$x^2 > 1$

$x^2 - 1 > 0$

$(x-1)(x+1) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

г)

В неравенстве $x^2 > x^4 > x^6$ также все степени четные. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$y > y^2 > y^3$

При $y=0$ получаем $0 > 0 > 0$, что неверно. Значит, $y > 0$.

Разделим все части неравенства на положительное число $y$:

$1 > y > y^2$

Это двойное неравенство означает $0 < y < 1$. Если $0 < y < 1$, то $y^2 < y$, так что вторая часть неравенства $y > y^2$ выполняется автоматически.

Итак, нам нужно решить неравенство $0 < y < 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < x^2 < 1$

Это равносильно системе $\begin{cases} x^2 > 0 \\ x^2 < 1 \end{cases}$.

Первое неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.

Второе неравенство $x^2 < 1$ или $x^2 - 1 < 0$ или $(x-1)(x+1) < 0$ выполняется для $x \in (-1, 1)$.

Пересекая эти два условия ($x \neq 0$ и $x \in (-1, 1)$), получаем $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

д)

Решим неравенство $x^2 < x^3$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - x^2 > 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$x^2(x - 1) > 0$

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительны. То есть $x^2$ не должно быть равно нулю.

Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $x \neq 0$.

Из второго неравенства следует, что $x > 1$.

Пересечение этих условий дает $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.

е)

Решим неравенство $x^2 > x^3$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - x^3 > 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$x^2(1 - x) > 0$

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительны, и $x^2$ не должно быть равно нулю.

Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $x \neq 0$.

Из второго неравенства следует, что $x < 1$.

Объединяя эти условия, получаем, что $x$ может быть любым числом меньше 1, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.