Страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

3.8°

a) Какова область определения функции $y = x^n$?

б) Сформулируйте свойства функции $y = x^n$.

а) Какова область определения функции $y = x^n$?

Область определения степенной функции $y = x^n$ существенно зависит от показателя степени $n$. Рассмотрим различные случаи для $n$.

1. Если $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n = 1, 2, 3, ...$)
Выражение $x^n$ (умножение $x$ на себя $n$ раз) определено для любого действительного числа $x$.
Пример: для $y = x^2$ или $y = x^3$, $x$ может быть любым числом.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Если $n = 0$
Функция имеет вид $y = x^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Выражение $0^0$ не определено.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

3. Если $n$ — целое отрицательное число ($n \in \mathbb{Z}, n < 0$)
Пусть $n = -m$, где $m$ — натуральное число. Тогда функция принимает вид $y = x^{-m} = \frac{1}{x^m}$. Это выражение определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x^m \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Пример: для $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$, $x$ не может быть равен 0.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

4. Если $n$ — рациональное число, не являющееся целым ($n = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, q \ge 2$)
Функцию можно записать как $y = \sqrt[q]{x^p}$. Область определения зависит от четности знаменателя $q$.

• Если $q$ — нечетное число, корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа. Область определения зависит от знака $p$:
  • Если $p > 0$, то $x^p$ определено для всех $x$. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.
  • Если $p < 0$, то $x^p = 1/x^{|p|}$, что требует $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Если $q$ — четное число, корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Поэтому требуется $x^p \ge 0$.
  • В школьном курсе и для избежания неоднозначностей для степенной функции с дробным показателем принято считать основание $x$ неотрицательным ($x \ge 0$). При таком соглашении:
    • Если $n > 0$, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
    • Если $n < 0$, то $x \neq 0$, поэтому область определения $D(y) = (0; +\infty)$.

5. Если $n$ — иррациональное число (например, $n = \sqrt{2}, n = \pi$)
В этом случае функция определяется через показательную и логарифмическую функции: $x^n = e^{n \ln x}$. Выражение $\ln x$ определено только для $x > 0$.
Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции $y=x^n$ зависит от показателя $n$:
- если $n$ — натуральное число, то $D(y) = \mathbb{R}$;
- если $n$ — целое отрицательное число или ноль, то $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$;
- если $n$ — дробное или иррациональное число, то по стандартному соглашению для $n > 0$ область определения $D(y) = [0, +\infty)$, а для $n < 0$ — $D(y) = (0, +\infty)$. В более общем случае для $n = p/q$ с нечетным $q$ область определения может быть шире.

б) Сформулируйте свойства функции $y = x^n$.

Свойства степенной функции, как и область определения, зависят от показателя степени $n$. Рассмотрим основные случаи.

Случай 1: $n$ — четное натуральное число ($n = 2, 4, 6, ...$)

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Четность: функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^{2k} = x^{2k} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Случай 2: $n$ — нечетное натуральное число ($n = 1, 3, 5, ...$)

- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^{2k-1} = -x^{2k-1} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
- Монотонность: функция возрастает на всей области определения.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

Случай 3: $n$ — целое отрицательное число ($n = -1, -2, -3, ...$)

Общие свойства: Область определения $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Нулей у функции нет. Есть вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
- Если $n$ — отрицательное четное ($n = -2, -4, ...$):
- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
- Функция четная. График симметричен относительно оси Oy.
- Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.
- Если $n$ — отрицательное нечетное ($n = -1, -3, ...$):
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.
- Убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Случай 4: $n$ — вещественное число, не являющееся целым (дробное или иррациональное)

В этом случае, как правило, рассматривают функцию на промежутке $x \ge 0$ или $x > 0$.
- Если $n > 0$ (например, $y=\sqrt{x}$, $y=x^{3/2}$):
- Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
- Функция возрастает на всей области определения.
- Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
- Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме частных случаев, выходящих за рамки соглашения).
- Если $n < 0$ (например, $y=x^{-1/2}$, $y=x^{-\pi}$):
- Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
- Функция убывает на всей области определения.
- Нулей у функции нет.
- Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная $y=0$ (ось Ox).

Ответ: Свойства функции $y=x^n$ зависят от показателя $n$. Для натуральных $n$ функция определена на $\mathbb{R}$; она четная и имеет минимум в нуле при четном $n$; нечетная и возрастающая при нечетном $n$. Для целых отрицательных $n$ функция не определена в $x=0$ и имеет асимптоты $x=0, y=0$. Для нецелых вещественных $n$, рассматриваемых при $x>0$ (или $x \ge 0$), функция возрастает при $n>0$ и убывает при $n<0$.

3.9° Для каких натуральных значений $n$ функция $y = x^n$:

а) чётная;

б) нечётная?

а)
Функция $y(x) = x^n$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.
Область определения степенной функции $y = x^n$ с натуральным показателем $n$ — это множество всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$, которое симметрично относительно нуля.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$y(-x) = (-x)^n$
Для того чтобы функция была чётной, должно выполняться равенство:
$(-x)^n = x^n$
Используя свойство степени, преобразуем левую часть: $(-x)^n = (-1 \cdot x)^n = (-1)^n \cdot x^n$.
Тогда равенство принимает вид:
$(-1)^n \cdot x^n = x^n$
Это равенство справедливо для всех $x$ только в том случае, если множитель $(-1)^n$ равен $1$.
$(-1)^n = 1$
Это условие выполняется, когда показатель степени $n$ является чётным числом.
Следовательно, функция $y = x^n$ является чётной для всех чётных натуральных значений $n$.
Ответ: $n$ — любое чётное натуральное число (например, $n = 2, 4, 6, \dots$).

б)
Функция $y(x) = x^n$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
Как и в предыдущем пункте, область определения симметрична относительно нуля.
Мы уже нашли, что $y(-x) = (-x)^n = (-1)^n \cdot x^n$.
Для того чтобы функция была нечётной, должно выполняться равенство:
$(-x)^n = -x^n$
Подставляя преобразованное выражение, получаем:
$(-1)^n \cdot x^n = -x^n$
Это равенство справедливо для всех $x$ только в том случае, если множитель $(-1)^n$ равен $-1$.
$(-1)^n = -1$
Это условие выполняется, когда показатель степени $n$ является нечётным числом.
Следовательно, функция $y = x^n$ является нечётной для всех нечётных натуральных значений $n$.
Ответ: $n$ — любое нечётное натуральное число (например, $n = 1, 3, 5, \dots$).

3.10 Какие точки принадлежат всем графикам функций $y = x^n$ при:

а) любых натуральных $n$;

б) любых чётных $n$;

в) любых нечётных $n$?

а)

Чтобы найти точки, принадлежащие всем графикам функций вида $y = x^n$ при любом натуральном $n$ ($n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$), необходимо найти такие пары координат $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению для всех значений $n$.

Если точка принадлежит всем графикам, то ее координаты должны удовлетворять, в частности, уравнениям для $n=1$ и $n=2$:

$y = x^1 = x$

$y = x^2$

Приравнивая выражения для $y$, получаем уравнение относительно $x$:

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

1. При $x = 0$, используя уравнение $y=x$, находим $y = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
Проверим, принадлежит ли эта точка графику $y = x^n$ для любого натурального $n$. Подставим ее координаты в уравнение: $0 = 0^n$. Это равенство верно для любого натурального $n \ge 1$. Значит, точка $(0, 0)$ является общей для всех этих графиков.

2. При $x = 1$, используя уравнение $y=x$, находим $y = 1$. Получаем точку $(1, 1)$.
Проверим, принадлежит ли эта точка графику $y = x^n$ для любого натурального $n$. Подставим ее координаты: $1 = 1^n$. Это равенство верно для любого натурального $n$. Значит, точка $(1, 1)$ также является общей для всех этих графиков.

Других значений $x$, которые могли бы дать общие точки, нет.

Ответ: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

б)

Теперь ищем точки, принадлежащие всем графикам функций $y = x^n$ при любом чётном натуральном $n$ ($n \in \{2, 4, 6, \ldots\}$).

Координаты точки должны удовлетворять, в частности, уравнениям для $n=2$ и $n=4$:

$y = x^2$

$y = x^4$

Приравнивая выражения для $y$, получаем:

$x^2 = x^4$

$x^4 - x^2 = 0$

$x^2(x^2 - 1) = 0$

$x^2(x - 1)(x + 1) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

1. При $x = 0$, из $y = x^2$ получаем $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
Проверка: $0 = 0^n$ верно для любого чётного $n$. Точка $(0, 0)$ подходит.

2. При $x = 1$, из $y = x^2$ получаем $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
Проверка: $1 = 1^n$ верно для любого чётного $n$. Точка $(1, 1)$ подходит.

3. При $x = -1$, из $y = x^2$ получаем $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
Проверка: $1 = (-1)^n$. Так как $n$ — чётное число, $(-1)$ в чётной степени всегда равно $1$. Равенство верно. Точка $(-1, 1)$ подходит.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

в)

Ищем точки, принадлежащие всем графикам функций $y = x^n$ при любом нечётном натуральном $n$ ($n \in \{1, 3, 5, \ldots\}$).

Координаты точки должны удовлетворять, в частности, уравнениям для $n=1$ и $n=3$:

$y = x^1 = x$

$y = x^3$

Приравнивая выражения для $y$, получаем:

$x = x^3$

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

1. При $x = 0$, из $y = x$ получаем $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
Проверка: $0 = 0^n$ верно для любого нечётного $n$. Точка $(0, 0)$ подходит.

2. При $x = 1$, из $y = x$ получаем $y = 1$. Точка $(1, 1)$.
Проверка: $1 = 1^n$ верно для любого нечётного $n$. Точка $(1, 1)$ подходит.

3. При $x = -1$, из $y = x$ получаем $y = -1$. Точка $(-1, -1)$.
Проверка: $-1 = (-1)^n$. Так как $n$ — нечётное число, $(-1)$ в нечётной степени всегда равно $-1$. Равенство верно. Точка $(-1, -1)$ подходит.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

3.11 Какова область значений функции $y = x^n$ при:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n$ чётном;

г) $n$ нечётном?

а) n = 3;

Рассмотрим функцию $y = x^3$. Область определения этой функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Показатель степени $n = 3$ является нечётным числом. При возведении положительного числа в нечётную степень результат будет положительным. Например, $2^3 = 8$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат будет отрицательным. Например, $(-2)^3 = -8$. Когда $x$ стремится к $-\infty$, $y$ также стремится к $-\infty$. При $x = 0$, $y = 0^3 = 0$. Таким образом, функция $y = x^3$ может принимать любые действительные значения. Область значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) n = 4;

Рассмотрим функцию $y = x^4$. Область определения этой функции — все действительные числа. Показатель степени $n = 4$ является чётным числом. При возведении любого действительного числа (кроме нуля) в чётную степень результат всегда будет положительным. Например, $2^4 = 16$ и $(-2)^4 = 16$. При $x = 0$, $y = 0^4 = 0$. Следовательно, для любого $x$ значение $y = x^4$ будет неотрицательным, то есть $y \geq 0$. Минимальное значение функции равно 0, и оно достигается при $x=0$. Максимального значения не существует, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$. Область значений функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

в) n чётном;

Пусть $n$ — любое чётное натуральное число. Можно записать $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Функция имеет вид $y = x^{n} = x^{2k}$. Это обобщение случая б). Для любого действительного $x \neq 0$, число $x^n = x^{2k} = (x^2)^k$ будет положительным, так как $x^2 > 0$, и возведение положительного числа в любую натуральную степень даёт положительный результат. Если $x=0$, то $y = 0^n = 0$. Таким образом, $y \geq 0$ для любого действительного $x$. Минимальное значение функции равно 0, а максимальное значение не ограничено. Область значений функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

г) n нечётном?

Пусть $n$ — любое нечётное натуральное число. Можно записать $n = 2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Функция имеет вид $y = x^n = x^{2k+1}$. Это обобщение случая а). Если $x > 0$, то $y = x^n > 0$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Если $x < 0$, то $x$ можно представить как $x = -a$, где $a > 0$. Тогда $y = (-a)^n = (-1)^n \cdot a^n$. Так как $n$ нечётное, $(-1)^n = -1$. Следовательно, $y = -a^n < 0$. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Если $x=0$, то $y=0^n=0$. Функция принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Область значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3.12 В каких четвертях расположен график функции $y = x^n$ при:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 5$;

г) $n = 6$;

д) $n$ чётном;

е) $n$ нечётном?

Для определения, в каких четвертях расположен график функции $y=x^n$, необходимо проанализировать знаки переменных $x$ и $y$ в зависимости от показателя степени $n$.

Координатные четверти определяются знаками координат:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

а) n = 3;
Функция имеет вид $y = x^3$. Показатель степени $n=3$ является нечётным числом.
1. Если $x > 0$, то $y = x^3$ также будет больше нуля ($y > 0$). Точки с положительными координатами $(x, y)$ лежат в I четверти.
2. Если $x < 0$, то $y = x^3$ будет меньше нуля ($y < 0$), так как нечётная степень отрицательного числа отрицательна. Точки с отрицательными координатами $(x, y)$ лежат в III четверти.
Таким образом, график функции расположен в I и III четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

б) n = 4;
Функция имеет вид $y = x^4$. Показатель степени $n=4$ является чётным числом.
1. Если $x > 0$, то $y = x^4$ будет больше нуля ($y > 0$). Точки с координатами $(x>0, y>0)$ лежат в I четверти.
2. Если $x < 0$, то $y = x^4$ будет больше нуля ($y > 0$), так как чётная степень любого ненулевого действительного числа положительна. Точки с координатами $(x<0, y>0)$ лежат во II четверти.
Таким образом, график функции расположен в I и II четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

в) n = 5;
Функция имеет вид $y = x^5$. Показатель степени $n=5$ является нечётным числом. Аналогично случаю с $n=3$:
1. При $x > 0$, значение $y = x^5$ будет положительным. Это I четверть.
2. При $x < 0$, значение $y = x^5$ будет отрицательным. Это III четверть.
Таким образом, график функции расположен в I и III четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

г) n = 6;
Функция имеет вид $y = x^6$. Показатель степени $n=6$ является чётным числом. Аналогично случаю с $n=4$:
1. При $x > 0$, значение $y = x^6$ будет положительным. Это I четверть.
2. При $x < 0$, значение $y = x^6$ будет положительным. Это II четверть.
Таким образом, график функции расположен в I и II четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

д) n чётном;
Если $n$ — чётное натуральное число, то для любого ненулевого значения $x$ значение $y = x^n$ будет положительным.
1. Если $x > 0$, то $y = x^n > 0$. Это I четверть.
2. Если $x < 0$, то $y = x^n > 0$, так как $x^n = (-|x|)^n = |x|^n > 0$ для чётного $n$. Это II четверть.
Следовательно, при любом чётном $n$ график функции $y=x^n$ расположен в I и II четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

е) n нечётном?
Если $n$ — нечётное натуральное число, то знак $y=x^n$ совпадает со знаком $x$.
1. Если $x > 0$, то $y = x^n > 0$. Это I четверть.
2. Если $x < 0$, то $y = x^n < 0$, так как $x^n = (-|x|)^n = -|x|^n < 0$ для нечётного $n$. Это III четверть.
Следовательно, при любом нечётном $n$ график функции $y=x^n$ расположен в I и III четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

3.13 Относительно чего симметричен график функции $y = x^n$ при:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 5$;

г) $n = 6$;

д) $n$ чётном;

е) $n$ нечётном?

Для определения симметрии графика функции $y = x^n$ необходимо исследовать ее на четность и нечетность. Свойство четности зависит от показателя степени $n$.

• Если функция четная, то есть $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Если функция нечетная, то есть $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, ее график симметричен относительно начала координат.

Проанализируем функцию $f(x) = x^n$ в каждом из случаев.

а) $n = 3$

Функция имеет вид $y = x^3$. Показатель степени $n=3$ является нечетным числом. Проверим свойство функции: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: относительно начала координат.

б) $n = 4$

Функция имеет вид $y = x^4$. Показатель степени $n=4$ является четным числом. Проверим свойство функции: $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: относительно оси ординат.

в) $n = 5$

Функция имеет вид $y = x^5$. Показатель степени $n=5$ является нечетным числом. Проверим свойство функции: $f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: относительно начала координат.

г) $n = 6$

Функция имеет вид $y = x^6$. Показатель степени $n=6$ является четным числом. Проверим свойство функции: $f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: относительно оси ординат.

д) $n$ чётном

Если показатель степени $n$ является чётным числом, то для функции $f(x) = x^n$ выполняется следующее: $f(-x) = (-x)^n = (-1)^n \cdot x^n$. Поскольку $n$ — чётное число, $(-1)^n = 1$. Таким образом, $f(-x) = 1 \cdot x^n = x^n = f(x)$. Функция является четной, и ее график симметричен относительно оси ординат.

Ответ: относительно оси ординат.

е) $n$ нечётном

Если показатель степени $n$ является нечётным числом, то для функции $f(x) = x^n$ выполняется следующее: $f(-x) = (-x)^n = (-1)^n \cdot x^n$. Поскольку $n$ — нечётное число, $(-1)^n = -1$. Таким образом, $f(-x) = -1 \cdot x^n = -x^n = -f(x)$. Функция является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: относительно начала координат.