Номер 2.93, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.11. Системы рациональных неравенств. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.93, страница 90.

2.93° Что значит решить систему рациональных неравенств? Как решают системы рациональных неравенств?

Что значит решить систему рациональных неравенств?
Решить систему рациональных неравенств — это значит найти множество всех значений переменной, при которых каждое из неравенств, входящих в систему, становится верным числовым неравенством. Это множество значений называется решением системы. Если таких значений не существует, говорят, что система не имеет решений, а ее решением является пустое множество.
Рациональное неравенство — это неравенство вида $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$ (или с другими знаками: $<, \le, \ge$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — это многочлены от переменной $x$.
Таким образом, для решения системы необходимо найти пересечение множеств решений всех отдельных неравенств, составляющих систему.

Ответ: Решить систему рациональных неравенств — это найти все значения переменной, которые одновременно удовлетворяют каждому неравенству в системе.

Как решают системы рациональных неравенств?
Для решения системы рациональных неравенств существует стандартный алгоритм:
1. Решить каждое неравенство системы по отдельности. Чаще всего для этого используется метод интервалов, который состоит из следующих шагов:
а) Перенести все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль. Привести левую часть к виду одной рациональной дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$.
б) Найти корни числителя (решив уравнение $P(x) = 0$) и корни знаменателя (решив уравнение $Q(x) = 0$).
в) Отметить все найденные корни на числовой прямой. Корни знаменателя всегда отмечаются «выколотыми» (пустыми) точками, так как знаменатель не может быть равен нулю. Корни числителя отмечаются «закрашенными» точками, если знак неравенства нестрогий ($\le$ или $\ge$), и «выколотыми», если знак строгий ($<$ или $>$).
г) Определить знаки получившегося выражения $\frac{P(x)}{Q(x)}$ на каждом из интервалов, на которые числовая прямая разбилась отмеченными точками.
д) Выбрать интервалы, которые удовлетворяют знаку неравенства, и записать их в виде множества — это и будет решение одного неравенства.
2. Найти пересечение множеств решений всех неравенств системы. Для этого удобно нарисовать все полученные решения на одной числовой прямой. Та область (или области), где все решения (их "штриховки") пересекаются, и будет являться итоговым решением системы.

Пример:
Решим систему: $\begin{cases} \frac{x+3}{x-4} > 0 \\ x-6 \le 0 \end{cases}$
1) Решаем первое неравенство $\frac{x+3}{x-4} > 0$. Корни числителя: $x=-3$. Корни знаменателя: $x=4$. Оба корня выколотые, так как неравенство строгое. Наносим на числовую ось и определяем знаки: $(+)\ \text{на}\ (-\infty; -3)$, $(-)\ \text{на}\ (-3; 4)$, $(+)\ \text{на}\ (4; +\infty)$. Нам нужны положительные значения. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.
2) Решаем второе неравенство $x-6 \le 0$. Переносим 6 вправо: $x \le 6$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 6]$.
3) Находим пересечение множеств $(-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$ и $(-\infty; 6]$. Изобразив их на одной числовой прямой, находим общие интервалы. Это будут $(-\infty; -3)$ и $(4; 6]$.
Итоговое решение системы: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; 6]$.

Ответ: Чтобы решить систему рациональных неравенств, нужно решить каждое неравенство в системе отдельно (обычно методом интервалов), а затем найти пересечение (общую часть) всех полученных множеств решений.