Номер 2.86, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.86, страница 87.

2.86 a) $x^2 - 3x + 5 \ge 0$;

В) $8x^2 - x + 1 \le 0$;

б) $x^2 + 7x + 10 \le 0$;

Г) $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$.

а) $x^2 - 3x + 5 \ge 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим соответствующую функцию $y = x^2 - 3x + 5$. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс, найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 5 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 - 3x + 5$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Таким образом, неравенство $x^2 - 3x + 5 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $x^2 + 7x + 10 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 7x + 10$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$, чтобы найти точки пересечения параболы с осью Ox.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -5$ и $x = -2$. Поскольку ветви направлены вверх, функция принимает отрицательные или равные нулю значения на промежутке между корнями. Неравенство является нестрогим ($\le$), поэтому сами корни включаются в решение.

Ответ: $x \in [-5; -2]$.

в) $8x^2 - x + 1 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = 8x^2 - x + 1$. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх ($a=8 > 0$).

Найдем корни уравнения $8x^2 - x + 1 = 0$, вычислив дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 1 - 32 = -31$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх, она целиком расположена в верхней полуплоскости. Это означает, что выражение $8x^2 - x + 1$ всегда строго положительно.

Поскольку неравенство требует, чтобы выражение было меньше или равно нулю, а оно всегда больше нуля, то решений у данного неравенства нет.

Ответ: решений нет (или $x \in \varnothing$).

г) $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Рассмотрим функцию $y = 4x^2 - 5x + 6$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$).

Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 25 - 96 = -71$.

Дискриминант $D < 0$, следовательно, у уравнения нет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox. Так как ее ветви направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox, и значение выражения $4x^2 - 5x + 6$ всегда положительно.

Таким образом, неравенство $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.