Номер 2.80, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.10. Нестрогие неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.80, страница 87.

2.80° Как решают нестрогие неравенства?

Нестрогие неравенства — это неравенства, которые содержат знаки «больше или равно» ($\ge$) или «меньше или равно» ($\le$). В отличие от строгих неравенств ($>$ или $<$), они допускают возможность равенства.

Решение нестрогого неравенства, например, вида $f(x) \ge 0$, сводится к нахождению всех значений $x$, при которых выражение $f(x)$ либо положительно ($f(x) > 0$), либо равно нулю ($f(x) = 0$). Таким образом, множество решений нестрогого неравенства является объединением множества решений соответствующего строгого неравенства и множества решений соответствующего уравнения.

Наиболее универсальным методом решения нестрогих неравенств является метод интервалов. Алгоритм решения следующий:

1. Привести неравенство к виду $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$.
2. Найти область определения функции $f(x)$.
3. Найти нули функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x) = 0$.
4. Нанести на числовую ось нули функции и точки, в которых функция не определена (если такие есть).
   • Нули функции, удовлетворяющие области определения, отмечаются закрашенными (сплошными) точками, так как в этих точках неравенство обращается в верное равенство $0=0$.
   • Точки, в которых функция не определена (например, нули знаменателя в дробно-рациональных неравенствах), всегда отмечаются выколотыми (пустыми) точками, так как они не входят в решение.
5. Определить знаки функции $f(x)$ в каждом из получившихся интервалов. Для этого достаточно подставить в $f(x)$ любое число из каждого интервала.
6. Выбрать интервалы, которые соответствуют знаку неравенства. Если неравенство имеет вид $f(x) \ge 0$, выбираем интервалы со знаком «+». Если $f(x) \le 0$ — интервалы со знаком «−».
7. Записать ответ, включая в него концы интервалов, отмеченные закрашенными точками (используя квадратные скобки $[, ]$), и исключая концы, отмеченные выколотыми точками (используя круглые скобки $(, )$).

Пример 1: Решение квадратного неравенства

Решим неравенство $x^2 - x - 6 \le 0$.

1. Находим нули функции $f(x) = x^2 - x - 6$, решая уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

2. Отмечаем эти корни на числовой оси закрашенными точками, так как неравенство нестрогое ($\le$). Они разделяют ось на три интервала.

3. Определяем знаки выражения $x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)$ в интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$ и $(3, \infty)$.

• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3-3) = (-1)(-6) = 6 > 0$. Ставим знак «+».
• При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $(0+2)(0-3) = (2)(-3) = -6 < 0$. Ставим знак «−».
• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4+2)(4-3) = (6)(1) = 6 > 0$. Ставим знак «+».

4. Так как нам нужно найти, где $x^2 - x - 6 \le 0$, выбираем интервал со знаком «−». Поскольку точки -2 и 3 закрашены, они включаются в ответ.

Ответ: $x \in [-2, 3]$.

Пример 2: Решение дробно-рационального неравенства

Решим неравенство $\frac{x-5}{x+1} \ge 0$.

1. Находим нуль числителя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$. Это корень функции, он будет отмечен закрашенной точкой.

2. Находим нуль знаменателя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$. В этой точке функция не определена. Она всегда отмечается выколотой точкой, независимо от знака неравенства.

3. Отмечаем точки на числовой оси: -1 (выколотая) и 5 (закрашенная). Определяем знаки в интервалах.

• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2-5}{-2+1} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$. Знак «+».
• При $-1 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0-5}{0+1} = -5 < 0$. Знак «−».
• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6-5}{6+1} = \frac{1}{7} > 0$. Знак «+».

4. Нам нужно, чтобы выражение было $\ge 0$. Выбираем интервалы со знаком «+». Точка $x=5$ включается в решение (квадратная скобка), а точка $x=-1$ исключается (круглая скобка).

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [5, \infty)$.

Ответ:
Для решения нестрогого неравенства (вида $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$) необходимо найти все значения переменной, при которых соответствующее равенство $f(x)=0$ является верным, а также все значения, при которых верным является соответствующее строгое неравенство ($f(x)>0$ или $f(x)<0$). На практике это удобнее всего делать с помощью метода интервалов, где нули функции (кроме нулей знаменателя) включаются в итоговый ответ. Это означает, что на числовой оси они отмечаются закрашенными точками, а в записи ответа для них используются квадратные скобки. Нули знаменателя всегда исключаются из ответа (отмечаются выколотыми точками, для них используются круглые скобки), так как в этих точках выражение не имеет смысла.