Номер 2.75, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.9. Рациональные неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.75, страница 83.

2.75 Решите с помощью метода интервалов неравенство:

а) $\frac{(x - 3)(x - 4)}{x - 5} > 0;$

б) $\frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 5} < 0;$

в) $\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 3} < 0;$

г) $\frac{(x - 0)(x - 3)}{x + 4} > 0;$

д) $\frac{x}{(x - 3)(x + 4)} > 0;$

е) $\frac{x}{(x + 1)(x - 8)} < 0.$

а) $ \frac{(x - 3)(x - 4)}{x - 5} > 0 $

Для решения неравенства методом интервалов, найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (x - 3)(x - 4) = 0 $, откуда $ x_1 = 3, x_2 = 4 $.

Нуль знаменателя: $ x - 5 = 0 $, откуда $ x_3 = 5 $.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое (знак >), все точки будут выколотыми.

- + - +

-----o(3)-----o(4)-----o(5)-----> x

Определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 6$:

$ \frac{(6 - 3)(6 - 4)}{6 - 5} = \frac{3 \cdot 2}{1} = 6 > 0 $. Значит, в интервале $ (5; +\infty) $ выражение положительно.

Поскольку все множители в первой степени, знаки в интервалах чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (3; 4) \cup (5; +\infty) $

б) $ \frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 5} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (x + 3)(x + 4) = 0 $, откуда $ x_1 = -3, x_2 = -4 $.

Нуль знаменателя: $ x + 5 = 0 $, откуда $ x_3 = -5 $.

Отметим точки -5, -4, -3 на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

- + - +

-----o(-5)-----o(-4)-----o(-3)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 0$:

$ \frac{(0 + 3)(0 + 4)}{0 + 5} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} > 0 $. Значит, в интервале $ (-3; +\infty) $ выражение положительно. Знаки в остальных интервалах чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (-4; -3) $

в) $ \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 3} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ (x + 1)(x - 1) = 0 $, откуда $ x_1 = -1, x_2 = 1 $.

Нуль знаменателя: $ x - 3 = 0 $, откуда $ x_3 = 3 $.

Отметим точки -1, 1, 3 на числовой оси. Все точки выколотые (неравенство строгое).

- + - +

-----o(-1)-----o(1)-----o(3)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$:

$ \frac{(4 + 1)(4 - 1)}{4 - 3} = \frac{5 \cdot 3}{1} = 15 > 0 $. Значит, в интервале $ (3; +\infty) $ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (1; 3) $

г) $ \frac{(x - 0)(x - 3)}{x + 4} > 0 $, что то же самое, что $ \frac{x(x - 3)}{x + 4} > 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ x(x - 3) = 0 $, откуда $ x_1 = 0, x_2 = 3 $.

Нуль знаменателя: $ x + 4 = 0 $, откуда $ x_3 = -4 $.

Отметим точки -4, 0, 3 на числовой оси. Все точки выколотые.

- + - +

-----o(-4)-----o(0)-----o(3)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$:

$ \frac{4(4 - 3)}{4 + 4} = \frac{4 \cdot 1}{8} = 0.5 > 0 $. Значит, в интервале $ (3; +\infty) $ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-4; 0) \cup (3; +\infty) $

д) $ \frac{x}{(x - 3)(x + 4)} > 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $ x = 0 $.

Нули знаменателя: $ (x - 3)(x + 4) = 0 $, откуда $ x_1 = 3, x_2 = -4 $.

Отметим точки -4, 0, 3 на числовой оси. Все точки выколотые.

- + - +

-----o(-4)-----o(0)-----o(3)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 4$:

$ \frac{4}{(4 - 3)(4 + 4)} = \frac{4}{1 \cdot 8} = 0.5 > 0 $. Значит, в интервале $ (3; +\infty) $ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $ x \in (-4; 0) \cup (3; +\infty) $

е) $ \frac{x}{(x + 1)(x - 8)} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $ x = 0 $.

Нули знаменателя: $ (x + 1)(x - 8) = 0 $, откуда $ x_1 = -1, x_2 = 8 $.

Отметим точки -1, 0, 8 на числовой оси. Все точки выколотые.

- + - +

-----o(-1)-----o(0)-----o(8)-----> x

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 9$:

$ \frac{9}{(9 + 1)(9 - 8)} = \frac{9}{10 \cdot 1} = 0.9 > 0 $. Значит, в интервале $ (8; +\infty) $ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (0; 8) $