Номер 2.79, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.9. Рациональные неравенства. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.79, страница 84.

2.79* a) $x^2 - 6x + \frac{17}{x^2 - 6x + 8} < 0;$

б) $x^2 + 2x + \frac{5}{x^2 + 2x - 3} < 0;$

В) $x^2 + 3x + \frac{6}{x^2 + 3x - 4} > 0;$

Г) $x^2 - 5x + \frac{7}{x^2 - 5x + 4} > 0.$

а) $x^2 - 6x + \frac{17}{x^2 - 6x + 8} < 0$

Данное неравенство решается методом введения новой переменной. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю: $x^2 - 6x + 8 \neq 0$. Корнями уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 4$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 - 6x + 8$. Тогда выражение $x^2 - 6x$ можно записать как $y - 8$. Подставим новую переменную в исходное неравенство:

$(y - 8) + \frac{17}{y} < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{y(y - 8) + 17}{y} < 0$

$\frac{y^2 - 8y + 17}{y} < 0$

Рассмотрим числитель $y^2 - 8y + 17$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 - 68 = -4$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положителен, числитель $y^2 - 8y + 17$ всегда принимает положительные значения.

Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя. Следовательно, неравенство равносильно условию $y < 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 - 6x + 8 < 0$

Корнями уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $f(x) < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение: $2 < x < 4$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (2, 4)$.

б) $x^2 + 2x + \frac{5}{x^2 + 2x - 3} < 0$

ОДЗ: $x^2 + 2x - 3 \neq 0$. Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq -3$ и $x \neq 1$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 + 2x - 3$. Тогда $x^2 + 2x = y + 3$. Подставим в неравенство:

$(y + 3) + \frac{5}{y} < 0$

$\frac{y(y + 3) + 5}{y} < 0$

$\frac{y^2 + 3y + 5}{y} < 0$

Рассмотрим числитель $y^2 + 3y + 5$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, числитель $y^2 + 3y + 5$ всегда больше нуля.

Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя, то есть $y < 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 + 2x - 3 < 0$

Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Парабола $f(x) = x^2 + 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $f(x) < 0$ выполняется между корнями.

Решение: $-3 < x < 1$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-3, 1)$.

в) $x^2 + 3x + \frac{6}{x^2 + 3x - 4} > 0$

ОДЗ: $x^2 + 3x - 4 \neq 0$. Корнями уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq -4$ и $x \neq 1$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 + 3x - 4$. Тогда $x^2 + 3x = y + 4$. Подставим в неравенство:

$(y + 4) + \frac{6}{y} > 0$

$\frac{y(y + 4) + 6}{y} > 0$

$\frac{y^2 + 4y + 6}{y} > 0$

Рассмотрим числитель $y^2 + 4y + 6$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, числитель $y^2 + 4y + 6$ всегда положителен.

Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя, то есть $y > 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 + 3x - 4 > 0$

Корнями уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Парабола $f(x) = x^2 + 3x - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $f(x) > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение: $x < -4$ или $x > 1$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)$.

г) $x^2 - 5x + \frac{7}{x^2 - 5x + 4} > 0$

ОДЗ: $x^2 - 5x + 4 \neq 0$. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 4$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 - 5x + 4$. Тогда $x^2 - 5x = y - 4$. Подставим в неравенство:

$(y - 4) + \frac{7}{y} > 0$

$\frac{y(y - 4) + 7}{y} > 0$

$\frac{y^2 - 4y + 7}{y} > 0$

Рассмотрим числитель $y^2 - 4y + 7$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, числитель $y^2 - 4y + 7$ всегда положителен.

Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя, то есть $y > 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 - 5x + 4 > 0$

Корнями уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Парабола $f(x) = x^2 - 5x + 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $f(x) > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение: $x < 1$ или $x > 4$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.