Страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.78 a) $\frac{(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 2)} > 0$

б) $\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x + 3)^2} < 0$

В) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} < 0$

Г) $\frac{x^2 - 1}{(x + 3)^2} > 0$

Д) $\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 + 2x - 3} > 0$

е) $\frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 5x + 6} < 0$

Ж) $\frac{x^3 - 8}{x - 2} < 0$

З) $\frac{x^3 + 1}{x + 2} < 0$

И) $\frac{x^3 + 27}{x + 3} > 0$

К) $\frac{x^3 - 64}{x - 3} > 0$

а) Исходное неравенство: $ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)} > 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x+1 \neq 0 $ и $ x-2 \neq 0 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \neq -1 $ и $ x \neq 2 $.
При условии $ x \neq 2 $, мы можем сократить дробь на $ (x-2) $:
$ \frac{x-2}{x+1} > 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x=2 $ и $ x=-1 $.
Наносим эти точки на числовую прямую и определяем знаки выражения на интервалах $ (-\infty; -1) $, $ (-1; 2) $ и $ (2; \infty) $.
При $ x > 2 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{3-2}{3+1} = \frac{1}{4} > 0 $. Интервал подходит.
При $ -1 < x < 2 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{0-2}{0+1} = -2 < 0 $. Интервал не подходит.
При $ x < -1 $ (например, $ x=-2 $): $ \frac{-2-2}{-2+1} = 4 > 0 $. Интервал подходит.
Решение: $ x \in (-\infty; -1) \cup (2; \infty) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq -1, x \neq 2 $).
Ответ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (2; \infty) $.

б) Исходное неравенство: $ \frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)^2} < 0 $.
ОДЗ: $ (x+3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $.
Знаменатель $ (x+3)^2 $ всегда положителен при $ x \neq -3 $. Поэтому знак дроби зависит только от знака числителя.
Неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} (x-1)(x-2) < 0 \\ x \neq -3 \end{cases} $
Решаем неравенство $ (x-1)(x-2) < 0 $. Корни: $ x=1 $ и $ x=2 $. Ветви параболы $ y=(x-1)(x-2) $ направлены вверх, значит, отрицательные значения находятся между корнями.
Решение: $ 1 < x < 2 $.
Условие $ x \neq -3 $ выполняется.
Ответ: $ x \in (1; 2) $.

в) Исходное неравенство: $ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} < 0 $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $.
Знаменатель: $ x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) $ (корни $ x=1, x=2 $).
Неравенство принимает вид: $ \frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)} < 0 $.
ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq 2 $.
Сокращаем дробь на $ (x-2) $ с учетом ОДЗ:
$ \frac{x+2}{x-1} < 0 $, при $ x \neq 2 $.
Методом интервалов находим, что выражение отрицательно при $ x \in (-2; 1) $.
Проверяем ОДЗ: интервал $ (-2; 1) $ не содержит точек $ 1 $ и $ 2 $.
Ответ: $ x \in (-2; 1) $.

г) Исходное неравенство: $ \frac{x^2 - 1}{(x+3)^2} > 0 $.
ОДЗ: $ (x+3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $.
Знаменатель $ (x+3)^2 $ всегда положителен при $ x \neq -3 $. Следовательно, числитель также должен быть положителен.
$ x^2 - 1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0 $.
Решением этого неравенства является $ x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty) $.
Учитываем ОДЗ $ x \neq -3 $. Точка -3 попадает в интервал $ (-\infty; -1) $, поэтому ее нужно исключить.
Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -1) \cup (1; \infty) $.

д) Исходное неравенство: $ \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 + 2x - 3} > 0 $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $ x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) $ (корни $ x=1, x=3 $).
Знаменатель: $ x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) $ (корни $ x=-3, x=1 $).
Неравенство: $ \frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-1)} > 0 $.
ОДЗ: $ x \neq -3 $ и $ x \neq 1 $.
Сокращаем на $ (x-1) $ при $ x \neq 1 $:
$ \frac{x-3}{x+3} > 0 $.
Методом интервалов получаем $ x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty) $.
Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty) $.

е) Исходное неравенство: $ \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 5x + 6} < 0 $.
Разложим на множители.
Числитель: $ x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) $ (корни $ x=2, x=-1 $).
Знаменатель: $ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) $ (корни $ x=2, x=3 $).
Неравенство: $ \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x-3)} < 0 $.
ОДЗ: $ x \neq 2 $ и $ x \neq 3 $.
Сокращаем на $ (x-2) $ при $ x \neq 2 $:
$ \frac{x+1}{x-3} < 0 $.
Методом интервалов получаем $ x \in (-1; 3) $.
Учитывая ОДЗ $ x \neq 2 $, исключаем эту точку из интервала.
Ответ: $ x \in (-1; 2) \cup (2; 3) $.

ж) Исходное неравенство: $ \frac{x^3 - 8}{x - 2} < 0 $.
Разложим числитель по формуле разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:
$ x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) $.
Неравенство: $ \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} < 0 $.
ОДЗ: $ x \neq 2 $.
При $ x \neq 2 $ сокращаем на $ (x-2) $: $ x^2+2x+4 < 0 $.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ x^2+2x+4 $: $ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 $.
Так как $ D < 0 $ и коэффициент при $ x^2 $ положителен ($ a=1>0 $), выражение $ x^2+2x+4 $ всегда больше нуля. Неравенство $ x^2+2x+4 < 0 $ не имеет решений.
Ответ: решений нет.

з) Исходное неравенство: $ \frac{x^3 + 1}{x + 2} < 0 $.
Разложим числитель по формуле суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $:
$ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) $.
Неравенство: $ \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+2} < 0 $.
ОДЗ: $ x \neq -2 $.
Дискриминант трехчлена $ x^2-x+1 $ равен $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 $. Так как $ D < 0 $ и $ a=1>0 $, выражение $ x^2-x+1 $ всегда положительно. Разделим обе части неравенства на $ (x^2-x+1) $, знак неравенства не изменится: $ \frac{x+1}{x+2} < 0 $.
Методом интервалов получаем $ x \in (-2; -1) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ x \in (-2; -1) $.

и) Исходное неравенство: $ \frac{x^3 + 27}{x + 3} > 0 $.
Разложим числитель по формуле суммы кубов:
$ x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9) $.
Неравенство: $ \frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{x+3} > 0 $.
ОДЗ: $ x \neq -3 $.
При $ x \neq -3 $ сокращаем на $ (x+3) $: $ x^2 - 3x + 9 > 0 $.
Дискриминант $ x^2 - 3x + 9 $: $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 $.
Так как $ D < 0 $ и $ a=1>0 $, выражение $ x^2 - 3x + 9 $ всегда положительно. Неравенство верно для всех $ x $, при которых оно определено, то есть для всех $ x $ из ОДЗ.
Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup (-3; \infty) $.

к) Исходное неравенство: $ \frac{x^3 - 64}{x - 3} > 0 $.
Разложим числитель по формуле разности кубов:
$ x^3 - 64 = (x-4)(x^2 + 4x + 16) $.
Неравенство: $ \frac{(x-4)(x^2+4x+16)}{x-3} > 0 $.
ОДЗ: $ x \neq 3 $.
Дискриминант $ x^2+4x+16 $: $ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0 $. Так как $ D<0 $ и $ a=1>0 $, выражение $ x^2+4x+16 $ всегда положительно. Поэтому неравенство равносильно $ \frac{x-4}{x-3} > 0 $.
Методом интервалов получаем $ x \in (-\infty; 3) \cup (4; \infty) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (4; \infty) $.

2.79* a) $x^2 - 6x + \frac{17}{x^2 - 6x + 8} < 0;$

б) $x^2 + 2x + \frac{5}{x^2 + 2x - 3} < 0;$

В) $x^2 + 3x + \frac{6}{x^2 + 3x - 4} > 0;$

Г) $x^2 - 5x + \frac{7}{x^2 - 5x + 4} > 0.$

а) $x^2 - 6x + \frac{17}{x^2 - 6x + 8} < 0$

Данное неравенство решается методом введения новой переменной. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю: $x^2 - 6x + 8 \neq 0$. Корнями уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 4$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 - 6x + 8$. Тогда выражение $x^2 - 6x$ можно записать как $y - 8$. Подставим новую переменную в исходное неравенство:

$(y - 8) + \frac{17}{y} < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{y(y - 8) + 17}{y} < 0$

$\frac{y^2 - 8y + 17}{y} < 0$

Рассмотрим числитель $y^2 - 8y + 17$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 - 68 = -4$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент ($a=1$) положителен, числитель $y^2 - 8y + 17$ всегда принимает положительные значения.

Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя. Следовательно, неравенство равносильно условию $y < 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 - 6x + 8 < 0$

Корнями уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $f(x) < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение: $2 < x < 4$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (2, 4)$.

б) $x^2 + 2x + \frac{5}{x^2 + 2x - 3} < 0$

ОДЗ: $x^2 + 2x - 3 \neq 0$. Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq -3$ и $x \neq 1$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 + 2x - 3$. Тогда $x^2 + 2x = y + 3$. Подставим в неравенство:

$(y + 3) + \frac{5}{y} < 0$

$\frac{y(y + 3) + 5}{y} < 0$

$\frac{y^2 + 3y + 5}{y} < 0$

Рассмотрим числитель $y^2 + 3y + 5$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, числитель $y^2 + 3y + 5$ всегда больше нуля.

Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя, то есть $y < 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 + 2x - 3 < 0$

Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Парабола $f(x) = x^2 + 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $f(x) < 0$ выполняется между корнями.

Решение: $-3 < x < 1$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-3, 1)$.

в) $x^2 + 3x + \frac{6}{x^2 + 3x - 4} > 0$

ОДЗ: $x^2 + 3x - 4 \neq 0$. Корнями уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq -4$ и $x \neq 1$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 + 3x - 4$. Тогда $x^2 + 3x = y + 4$. Подставим в неравенство:

$(y + 4) + \frac{6}{y} > 0$

$\frac{y(y + 4) + 6}{y} > 0$

$\frac{y^2 + 4y + 6}{y} > 0$

Рассмотрим числитель $y^2 + 4y + 6$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, числитель $y^2 + 4y + 6$ всегда положителен.

Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя, то есть $y > 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 + 3x - 4 > 0$

Корнями уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Парабола $f(x) = x^2 + 3x - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $f(x) > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение: $x < -4$ или $x > 1$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)$.

г) $x^2 - 5x + \frac{7}{x^2 - 5x + 4} > 0$

ОДЗ: $x^2 - 5x + 4 \neq 0$. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 4$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 - 5x + 4$. Тогда $x^2 - 5x = y - 4$. Подставим в неравенство:

$(y - 4) + \frac{7}{y} > 0$

$\frac{y(y - 4) + 7}{y} > 0$

$\frac{y^2 - 4y + 7}{y} > 0$

Рассмотрим числитель $y^2 - 4y + 7$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, числитель $y^2 - 4y + 7$ всегда положителен.

Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя, то есть $y > 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 - 5x + 4 > 0$

Корнями уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Парабола $f(x) = x^2 - 5x + 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $f(x) > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение: $x < 1$ или $x > 4$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.