Номер 2.58, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.7. Системы рациональных уравнений. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.58, страница 74.

2.58 a) $\begin{cases}\frac{x}{x+3} + \frac{x+3}{x} = \frac{17}{4} \\x^2 - 4xy + 4y^2 = 0\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{y+1}{y+2} + \frac{y+2}{y+1} = \frac{25}{12} \\x^2 - 2xy + y^2 = 0\end{cases}$

В) $\begin{cases}\frac{2x+2y}{x-y} - \frac{3x-3y}{x+y} = 5 \\x^2 + y^2 = 90\end{cases}$

Г) $\begin{cases}\frac{4x-4y}{x+y} + \frac{3x+3y}{x-y} = 13 \\x^2 - y^2 = 12\end{cases}$

Д) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\xy + x + y = 5\end{cases}$

е) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\xy - x - y = 5\end{cases}$

Ж) $\begin{cases}x + y = xy \\x^2 + y^2 = 4xy\end{cases}$

З) $\begin{cases}x - y = 0,25xy \\x^2 + y^2 = 2,5xy\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}\frac{x}{x+3} + \frac{x+3}{x} = \frac{17}{4} \\x^2 - 4xy + 4y^2 = 0\end{cases}$$Сначала решим второе уравнение. Левая часть является полным квадратом:
$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2 = 0$
Отсюда следует, что $x - 2y = 0$, или $x = 2y$.
Теперь решим первое уравнение. Сделаем замену $t = \frac{x}{x+3}$. Тогда уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$
Умножим обе части на $4t$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии $x \neq 0, x \neq -3$):
$4t^2 + 4 = 17t \implies 4t^2 - 17t + 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$
$t_{1,2} = \frac{17 \pm 15}{8}$
$t_1 = \frac{17+15}{8} = 4$, $t_2 = \frac{17-15}{8} = \frac{1}{4}$
Вернемся к переменной $x$:
1) $\frac{x}{x+3} = 4 \implies x = 4(x+3) \implies x = 4x+12 \implies 3x = -12 \implies x = -4$.
Подставим найденное значение $x$ в соотношение $x=2y$: $-4 = 2y \implies y = -2$.
Первое решение: $(-4, -2)$.
2) $\frac{x}{x+3} = \frac{1}{4} \implies 4x = x+3 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
Подставим в $x=2y$: $1 = 2y \implies y = \frac{1}{2}$.
Второе решение: $(1, 1/2)$.

Ответ: $(-4, -2), (1, 1/2)$.

б)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}\frac{y+1}{y+2} + \frac{y+2}{y+1} = \frac{25}{12} \\x^2 - 2xy + y^2 = 0\end{cases}$$Второе уравнение представляет собой полный квадрат:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 = 0$
Отсюда следует, что $x - y = 0$, или $x = y$.
В первом уравнении сделаем замену $t = \frac{y+1}{y+2}$. Уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}$
Умножим на $12t$ (при условии $y \neq -1, y \neq -2$):
$12t^2 + 12 = 25t \implies 12t^2 - 25t + 12 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$
$t_{1,2} = \frac{25 \pm 7}{24}$
$t_1 = \frac{25+7}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$, $t_2 = \frac{25-7}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$
Вернемся к переменной $y$:
1) $\frac{y+1}{y+2} = \frac{4}{3} \implies 3(y+1) = 4(y+2) \implies 3y+3 = 4y+8 \implies y = -5$.
Так как $x=y$, то $x=-5$. Первое решение: $(-5, -5)$.
2) $\frac{y+1}{y+2} = \frac{3}{4} \implies 4(y+1) = 3(y+2) \implies 4y+4 = 3y+6 \implies y = 2$.
Так как $x=y$, то $x=2$. Второе решение: $(2, 2)$.

Ответ: $(-5, -5), (2, 2)$.

в)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}\frac{2x+2y}{x-y} - \frac{3x-3y}{x+y} = 5 \\x^2 + y^2 = 90\end{cases}$$Преобразуем первое уравнение, вынеся общие множители:
$\frac{2(x+y)}{x-y} - \frac{3(x-y)}{x+y} = 5$
Сделаем замену $t = \frac{x+y}{x-y}$. Уравнение примет вид (при $x \neq y, x \neq -y$):
$2t - \frac{3}{t} = 5$
$2t^2 - 3 = 5t \implies 2t^2 - 5t - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$t_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{4}$
$t_1 = \frac{12}{4} = 3$, $t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Рассмотрим два случая:
1) $\frac{x+y}{x-y} = 3 \implies x+y = 3x-3y \implies 4y=2x \implies x=2y$.
Подставим это во второе уравнение системы: $(2y)^2+y^2=90 \implies 4y^2+y^2=90 \implies 5y^2=90 \implies y^2=18 \implies y=\pm 3\sqrt{2}$.
Если $y=3\sqrt{2}$, то $x=6\sqrt{2}$. Если $y=-3\sqrt{2}$, то $x=-6\sqrt{2}$.
Получаем два решения: $(6\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ и $(-6\sqrt{2}, -3\sqrt{2})$.
2) $\frac{x+y}{x-y} = -\frac{1}{2} \implies 2(x+y) = -(x-y) \implies 2x+2y = -x+y \implies 3x=-y \implies y=-3x$.
Подставим это во второе уравнение: $x^2+(-3x)^2=90 \implies x^2+9x^2=90 \implies 10x^2=90 \implies x^2=9 \implies x=\pm 3$.
Если $x=3$, то $y=-9$. Если $x=-3$, то $y=9$.
Получаем еще два решения: $(3, -9)$ и $(-3, 9)$.

Ответ: $(6\sqrt{2}, 3\sqrt{2}), (-6\sqrt{2}, -3\sqrt{2}), (3, -9), (-3, 9)$.

г)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}\frac{4x-4y}{x+y} + \frac{3x+3y}{x-y} = 13 \\x^2 - y^2 = 12\end{cases}$$Из второго уравнения следует, что $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=12$, значит $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Преобразуем первое уравнение:
$\frac{4(x-y)}{x+y} + \frac{3(x+y)}{x-y} = 13$
Сделаем замену $t = \frac{x-y}{x+y}$. Уравнение примет вид:
$4t + \frac{3}{t} = 13 \implies 4t^2 - 13t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 = 11^2$
$t_{1,2} = \frac{13 \pm 11}{8}$
$t_1 = \frac{24}{8} = 3$, $t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Рассмотрим два случая:
1) $\frac{x-y}{x+y} = 3 \implies x-y=3x+3y \implies -2x=4y \implies x=-2y$.
Подставим во второе уравнение: $(-2y)^2-y^2=12 \implies 4y^2-y^2=12 \implies 3y^2=12 \implies y^2=4 \implies y=\pm 2$.
Если $y=2$, то $x=-4$. Если $y=-2$, то $x=4$.
Решения: $(-4, 2)$ и $(4, -2)$.
2) $\frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 4x-4y=x+y \implies 3x=5y \implies x=\frac{5}{3}y$.
Подставим во второе уравнение: $(\frac{5}{3}y)^2 - y^2 = 12 \implies \frac{25}{9}y^2-y^2=12 \implies \frac{16}{9}y^2=12 \implies y^2=\frac{12 \cdot 9}{16} = \frac{27}{4} \implies y=\pm\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Если $y=\frac{3\sqrt{3}}{2}$, то $x=\frac{5}{3}\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.
Если $y=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$, то $x=-\frac{5\sqrt{3}}{2}$.
Решения: $(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ и $(-\frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $(-4, 2), (4, -2), (\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}), (-\frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

д)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\xy + x + y = 5\end{cases}$$Это симметрическая система. Введем новые переменные: $u = x+y$, $v=xy$.
Используем тождество $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Система примет вид:$$\begin{cases}u^2 - 2v = 5 \\v + u = 5\end{cases}$$Из второго уравнения выразим $v = 5 - u$ и подставим в первое:
$u^2 - 2(5-u) = 5$
$u^2 - 10 + 2u = 5 \implies u^2 + 2u - 15 = 0$
По теореме Виета, $u_1=3, u_2=-5$.
Рассмотрим два случая:
1) $u=3$. Тогда $v=5-3=2$.
Возвращаемся к переменным $x,y$: $x+y=3, xy=2$.
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 3z + 2 = 0$.
$(z-1)(z-2)=0 \implies z_1=1, z_2=2$.
Решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.
2) $u=-5$. Тогда $v=5-(-5)=10$.
$x+y=-5, xy=10$.
Составим квадратное уравнение $z^2 - (-5)z + 10 = 0 \implies z^2 + 5z + 10 = 0$.
Дискриминант $D=5^2-4 \cdot 10 = 25-40=-15 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

е)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\xy - x - y = 5\end{cases}$$Это симметрическая система. Введем замены $u=x+y, v=xy$.
$xy - (x+y) = 5 \implies v-u=5$.
$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = u^2-2v=25$.
Получаем систему:$$\begin{cases}u^2 - 2v = 25 \\v - u = 5\end{cases}$$Из второго уравнения $v = u+5$. Подставим в первое:
$u^2 - 2(u+5) = 25$
$u^2 - 2u - 10 = 25 \implies u^2 - 2u - 35 = 0$
$(u-7)(u+5)=0 \implies u_1=7, u_2=-5$.
Рассмотрим два случая:
1) $u=7$. Тогда $v=7+5=12$.
$x+y=7, xy=12$.
$z^2-7z+12=0 \implies (z-3)(z-4)=0 \implies z_1=3, z_2=4$.
Решения: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.
2) $u=-5$. Тогда $v=-5+5=0$.
$x+y=-5, xy=0$.
Из $xy=0$ следует, что $x=0$ или $y=0$.
Если $x=0$, то $y=-5$. Если $y=0$, то $x=-5$.
Решения: $(0, -5)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: $(3, 4), (4, 3), (0, -5), (-5, 0)$.

ж)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x + y = xy \\x^2 + y^2 = 4xy\end{cases}$$Введем замены $u=x+y, v=xy$.
$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = u^2-2v$.
Система примет вид:$$\begin{cases}u = v \\u^2 - 2v = 4v\end{cases}$$Подставим $v=u$ во второе уравнение:
$u^2 - 2u = 4u \implies u^2 - 6u = 0 \implies u(u-6)=0$.
$u_1=0, u_2=6$.
Рассмотрим два случая:
1) $u=0$. Тогда $v=0$.
$x+y=0, xy=0$.
Из $xy=0$ следует, что $x=0$ или $y=0$. В обоих случаях из $x+y=0$ второй множитель тоже равен нулю.
Решение: $(0, 0)$.
2) $u=6$. Тогда $v=6$.
$x+y=6, xy=6$.
$x, y$ - корни уравнения $z^2 - 6z + 6 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$.
$z = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$.
Решения: $(3+\sqrt{3}, 3-\sqrt{3})$ и $(3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3})$.

Ответ: $(0, 0), (3+\sqrt{3}, 3-\sqrt{3}), (3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3})$.

з)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x - y = 0.25xy \\x^2 + y^2 = 2.5xy\end{cases}$$Очевидно, пара $(0,0)$ является решением системы.
Рассмотрим случай, когда $x \neq 0, y \neq 0$.
Преобразуем второе уравнение, используя формулу квадрата разности:
$x^2+y^2 = (x-y)^2 + 2xy$.
Подставим это во второе уравнение:
$(x-y)^2 + 2xy = 2.5xy$
$(x-y)^2 = 0.5xy$
Теперь подставим в это уравнение выражение для $x-y$ из первого уравнения системы:
$(0.25xy)^2 = 0.5xy$
$0.0625x^2y^2 = 0.5xy$
Поскольку мы предположили, что $x \neq 0, y \neq 0$, мы можем разделить обе части на $xy$:
$0.0625xy = 0.5$
$\frac{1}{16}xy = \frac{1}{2} \implies xy = 8$.
Теперь, зная $xy$, из первого уравнения находим $x-y$:
$x-y = 0.25 \cdot 8 = 2$.
Получаем новую, более простую систему:$$\begin{cases}x-y=2 \\xy=8\end{cases}$$Из первого уравнения $x=y+2$. Подставим во второе:
$(y+2)y=8 \implies y^2+2y-8=0$.
По теореме Виета $y_1=2, y_2=-4$.
1) Если $y=2$, то $x=2+2=4$. Решение: $(4, 2)$.
2) Если $y=-4$, то $x=-4+2=-2$. Решение: $(-2, -4)$.
Не забываем про решение $(0,0)$.

Ответ: $(0, 0), (4, 2), (-2, -4)$.