Номер 2.54, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.54, страница 70.

2.54 a) $2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0;$

Б) $3x^3 - x^2 - 12x + 4 = 0;$

В) $3x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 1 = 0;$

Г) $x^4 - 4x^3 + 12x - 9 = 0;$

Д) $2x^4 + 2x^3 + 5x^2 + x + 2 = 0;$

e) $x^4 - 3x^3 + 6x - 4 = 0.$

а)

Данное уравнение является кубическим. Решим его методом группировки.

$2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$x^2(2x - 1) - (2x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 1)(2x - 1) = 0$

Разложим первый множитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1)(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_3 = \frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{1}{2}$.

б)

Решим данное кубическое уравнение методом группировки.

$3x^3 - x^2 - 12x + 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(3x - 1) - 4(3x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 4)(3x - 1) = 0$

Разложим множитель $(x^2 - 4)$ на множители:

$(x - 2)(x + 2)(3x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_3 = \frac{1}{3}$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = \frac{1}{3}$.

в)

Для решения уравнения $3x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 1 = 0$ применим метод группировки.

Представим $4x^2$ как $3x^2 + x^2$:

$3x^4 - 3x^3 + 3x^2 + x^2 - x + 1 = 0$

Сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых:

$(3x^4 - 3x^3 + 3x^2) + (x^2 - x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель в первой группе:

$3x^2(x^2 - x + 1) + 1(x^2 - x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - x + 1)$:

$(3x^2 + 1)(x^2 - x + 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $3x^2 + 1 = 0 \implies 3x^2 = -1 \implies x^2 = -\frac{1}{3}$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

2) $x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, это уравнение также не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

г)

Для решения уравнения $x^4 - 4x^3 + 12x - 9 = 0$ преобразуем его, добавив и вычтя $4x^2$.

$x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4x^2 + 12x - 9 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 - 4x^3 + 4x^2) - (4x^2 - 12x + 9) = 0$

Заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами:

$x^2(x^2 - 4x + 4) - (2x - 3)^2 = 0$

$x^2(x - 2)^2 - (2x - 3)^2 = 0$

$(x(x - 2))^2 - (2x - 3)^2 = 0$

$(x^2 - 2x)^2 - (2x - 3)^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов:

$((x^2 - 2x) - (2x - 3))((x^2 - 2x) + (2x - 3)) = 0$

$(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 3) = 0$

Получаем два квадратных уравнения:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

2) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{3}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = \sqrt{3}$, $x_4 = -\sqrt{3}$.

д)

Для решения уравнения $2x^4 + 2x^3 + 5x^2 + x + 2 = 0$ попробуем разложить левую часть на множители методом неопределенных коэффициентов. Будем искать разложение в виде $(2x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$.

Раскроем скобки: $2x^4 + 2cx^3 + 2dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd = 2x^4 + (a+2c)x^3 + (2d+b+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$.

Сравним коэффициенты с исходным многочленом $2x^4 + 2x^3 + 5x^2 + x + 2$:

$\begin{cases} a+2c = 2 \\ 2d+b+ac = 5 \\ ad+bc = 1 \\ bd = 2 \end{cases}$

Из $bd=2$ следует, что $b$ и $d$ могут быть целыми числами $(1,2), (2,1), (-1,-2), (-2,-1)$. Проверим вариант $b=1, d=2$.

Система для $a$ и $c$ принимает вид:

$\begin{cases} a+2c = 2 \\ 2a+c = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения $a = 2-2c$. Подставим во второе: $2(2-2c)+c=1 \implies 4-4c+c=1 \implies 3c=3 \implies c=1$. Тогда $a=2-2(1)=0$.

Проверим оставшееся уравнение: $2d+b+ac = 2(2)+1+(0)(1) = 5$. Условие выполняется.

Таким образом, разложение имеет вид: $(2x^2+1)(x^2+x+2) = 0$.

Получаем два уравнения:

1) $2x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -\frac{1}{2}$. Нет действительных корней.

2) $x^2 + x + 2 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$. Нет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

е)

Решим уравнение $x^4 - 3x^3 + 6x - 4 = 0$ методом группировки.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым и второе с третьим:

$(x^4 - 4) - (3x^3 - 6x) = 0$

В первой группе применим формулу разности квадратов, во второй вынесем общий множитель за скобки:

$(x^2 - 2)(x^2 + 2) - 3x(x^2 - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 2)$ за скобки:

$(x^2 - 2)(x^2 + 2 - 3x) = 0$

$(x^2 - 2)(x^2 - 3x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.

2) $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 2$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \sqrt{2}$, $x_4 = -\sqrt{2}$.