Страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (2.53–2.55):

2.53

а) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$;

б) $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$;

в) $x^3 - 2x - 4 = 0$;

г) $x^3 - 6x - 9 = 0$;

д) $x^4 + x^3 + 5x^2 + 4x + 4 = 0$;

е) $x^5 + 3x^3 + 2x = 0$.

а) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$
Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (числа 6). Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $x = -1$:
$(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$.
Так как равенство верное, $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ делится на $(x - (-1)) = (x+1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера:

В результате деления получаем квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 6$. Приравняем его к нулю, чтобы найти остальные корни:
$x^2 + 5x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна -5, а произведение равно 6. Корни: $x_2 = -2$ и $x_3 = -3$.
Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: $-3; -2; -1$.

б) $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0$
Будем искать целые корни среди делителей свободного члена -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $x = -1$:
$(-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0$.
Корень $x_1 = -1$ найден. Разделим многочлен $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ на $(x+1)$: $(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) : (x+1) = x^2 + x - 6$.
Теперь решим квадратное уравнение:
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета: сумма корней равна -1, произведение равно -6. Корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = -3$.
Таким образом, все корни исходного уравнения найдены.
Ответ: $-3; -1; 2$.

в) $x^3 - 2x - 4 = 0$
Ищем целые корни среди делителей свободного члена -4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим $x = 2$:
$2^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0$.
Корень $x_1 = 2$ найден. Разделим многочлен $x^3 - 2x - 4$ на $(x-2)$: $(x^3 + 0x^2 - 2x - 4) : (x-2) = x^2 + 2x + 2$.
Решим квадратное уравнение:
$x^2 + 2x + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней у этого квадратного уравнения нет. Корни являются комплексными: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$.
Таким образом, уравнение имеет один действительный корень и два комплексных корня.
Ответ: $2; -1-i; -1+i$.

г) $x^3 - 6x - 9 = 0$
Ищем целые корни среди делителей свободного члена -9: $\pm1, \pm3, \pm9$.
Проверим $x = 3$:
$3^3 - 6(3) - 9 = 27 - 18 - 9 = 0$.
Корень $x_1 = 3$ найден. Разделим многочлен $x^3 - 6x - 9$ на $(x-3)$: $(x^3 + 0x^2 - 6x - 9) : (x-3) = x^2 + 3x + 3$.
Решим квадратное уравнение:
$x^2 + 3x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет. Комплексные корни: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2}$.
Уравнение имеет один действительный корень и два комплексных корня.
Ответ: $3; \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2}; \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}$.

д) $x^4 + x^3 + 5x^2 + 4x + 4 = 0$
Попытка найти целые корни среди делителей свободного члена 4 ($\pm1, \pm2, \pm4$) не дает результата. Попробуем метод группировки. Представим $5x^2$ как $x^2 + 4x^2$:
$x^4 + x^3 + x^2 + 4x^2 + 4x + 4 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^4 + x^3 + x^2) + (4x^2 + 4x + 4) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x^2 + x + 1) + 4(x^2 + x + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 + x + 1)$:
$(x^2 + 4)(x^2 + x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm \sqrt{-4} \implies x = \pm 2i$.
2) $x^2 + x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.
Все четыре корня уравнения являются комплексными. Действительных корней нет.
Ответ: $2i; -2i; \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}; \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.

е) $x^5 + 3x^3 + 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^4 + 3x^2 + 2) = 0$
Отсюда следует, что либо $x_1 = 0$, либо $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$.
Решим биквадратное уравнение $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для действительных $x$, то и $y \ge 0$.
$y^2 + 3y + 2 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $y_1 = -1$ и $y_2 = -2$.
Оба значения $y$ отрицательны, поэтому действительных решений для $x$ на этом шаге нет. Однако, если искать комплексные корни, то:
Вернемся к замене:
1) $x^2 = y_1 = -1 \implies x = \pm \sqrt{-1} \implies x = \pm i$.
2) $x^2 = y_2 = -2 \implies x = \pm \sqrt{-2} \implies x = \pm i\sqrt{2}$.
Таким образом, уравнение имеет один действительный корень и четыре комплексных корня.
Ответ: $0; i; -i; i\sqrt{2}; -i\sqrt{2}$.

2.54 a) $2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0;$

Б) $3x^3 - x^2 - 12x + 4 = 0;$

В) $3x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 1 = 0;$

Г) $x^4 - 4x^3 + 12x - 9 = 0;$

Д) $2x^4 + 2x^3 + 5x^2 + x + 2 = 0;$

e) $x^4 - 3x^3 + 6x - 4 = 0.$

Данное уравнение является кубическим. Решим его методом группировки.

$2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$x^2(2x - 1) - (2x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 1)(2x - 1) = 0$

Разложим первый множитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1)(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_3 = \frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{1}{2}$.

Решим данное кубическое уравнение методом группировки.

$3x^3 - x^2 - 12x + 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(3x - 1) - 4(3x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 4)(3x - 1) = 0$

Разложим множитель $(x^2 - 4)$ на множители:

$(x - 2)(x + 2)(3x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_3 = \frac{1}{3}$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = \frac{1}{3}$.

Для решения уравнения $3x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 1 = 0$ применим метод группировки.

Представим $4x^2$ как $3x^2 + x^2$:

$3x^4 - 3x^3 + 3x^2 + x^2 - x + 1 = 0$

Сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых:

$(3x^4 - 3x^3 + 3x^2) + (x^2 - x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель в первой группе:

$3x^2(x^2 - x + 1) + 1(x^2 - x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - x + 1)$:

$(3x^2 + 1)(x^2 - x + 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1) $3x^2 + 1 = 0 \implies 3x^2 = -1 \implies x^2 = -\frac{1}{3}$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

2) $x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, это уравнение также не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

Для решения уравнения $x^4 - 4x^3 + 12x - 9 = 0$ преобразуем его, добавив и вычтя $4x^2$.

$x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4x^2 + 12x - 9 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 - 4x^3 + 4x^2) - (4x^2 - 12x + 9) = 0$

Заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами:

$x^2(x^2 - 4x + 4) - (2x - 3)^2 = 0$

$x^2(x - 2)^2 - (2x - 3)^2 = 0$

$(x(x - 2))^2 - (2x - 3)^2 = 0$

$(x^2 - 2x)^2 - (2x - 3)^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов:

$((x^2 - 2x) - (2x - 3))((x^2 - 2x) + (2x - 3)) = 0$

$(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 3) = 0$

Получаем два квадратных уравнения:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

2) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{3}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = \sqrt{3}$, $x_4 = -\sqrt{3}$.

Для решения уравнения $2x^4 + 2x^3 + 5x^2 + x + 2 = 0$ попробуем разложить левую часть на множители методом неопределенных коэффициентов. Будем искать разложение в виде $(2x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$.

Раскроем скобки: $2x^4 + 2cx^3 + 2dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd = 2x^4 + (a+2c)x^3 + (2d+b+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$.

Сравним коэффициенты с исходным многочленом $2x^4 + 2x^3 + 5x^2 + x + 2$:

$\begin{cases} a+2c = 2 \\ 2d+b+ac = 5 \\ ad+bc = 1 \\ bd = 2 \end{cases}$

Из $bd=2$ следует, что $b$ и $d$ могут быть целыми числами $(1,2), (2,1), (-1,-2), (-2,-1)$. Проверим вариант $b=1, d=2$.

Система для $a$ и $c$ принимает вид:

$\begin{cases} a+2c = 2 \\ 2a+c = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения $a = 2-2c$. Подставим во второе: $2(2-2c)+c=1 \implies 4-4c+c=1 \implies 3c=3 \implies c=1$. Тогда $a=2-2(1)=0$.

Проверим оставшееся уравнение: $2d+b+ac = 2(2)+1+(0)(1) = 5$. Условие выполняется.

Таким образом, разложение имеет вид: $(2x^2+1)(x^2+x+2) = 0$.

Получаем два уравнения:

1) $2x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -\frac{1}{2}$. Нет действительных корней.

2) $x^2 + x + 2 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$. Нет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

Решим уравнение $x^4 - 3x^3 + 6x - 4 = 0$ методом группировки.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым и второе с третьим:

$(x^4 - 4) - (3x^3 - 6x) = 0$

В первой группе применим формулу разности квадратов, во второй вынесем общий множитель за скобки:

$(x^2 - 2)(x^2 + 2) - 3x(x^2 - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 2)$ за скобки:

$(x^2 - 2)(x^2 + 2 - 3x) = 0$

$(x^2 - 2)(x^2 - 3x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.

2) $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 2$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \sqrt{2}$, $x_4 = -\sqrt{2}$.

2.55 a) $ \frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 2} = 0; $

б) $ \frac{x^3 - 7x + 6}{x^2 + x - 6} = 0; $

В) $ \frac{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6}{2x^3 - x^2 + 2x - 1} = 0; $

Г) $ \frac{3x^3 + 4x^2 - 5x - 2}{3x^3 + 4x^2 - 5x + 2} = 0. $

а)

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Запишем это в виде системы: $ \begin{cases} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$. Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$. Проверим $x=1$: $1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ на $(x-1)$ столбиком или по схеме Горнера.

$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$.

Теперь уравнение можно записать в виде: $(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ или $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Таким образом, корни числителя: $x=1, x=2, x=3$.

2. Проверим условие $x - 2 \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$.

3. Исключим из корней числителя те, которые обращают знаменатель в ноль. Корень $x=2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$, поэтому он не является решением исходного уравнения. Остаются корни $x=1$ и $x=3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

б)

Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x^3 - 7x + 6 = 0 \\ x^2 + x - 6 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $x^3 - 7x + 6 = 0$. Найдем целые корни среди делителей свободного члена (6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$. Проверим $x=1$: $1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 - 7x + 6$ на $(x-1)$: $(x^3 - 7x + 6) : (x - 1) = x^2 + x - 6$.

Уравнение примет вид: $(x - 1)(x^2 + x - 6) = 0$. Отсюда $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ или $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = -3$.

Корни числителя: $x=1, x=2, x=-3$.

2. Решим неравенство $x^2 + x - 6 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Это то же самое уравнение, что мы решали выше. Его корни $x=2$ и $x=-3$. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ. Корни $x=2$ и $x=-3$ не входят в ОДЗ, поэтому они являются посторонними. Остается только корень $x=1$.

Ответ: $x=1$.

в)

Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0 \\ 2x^3 - x^2 + 2x - 1 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0$. Возможные рациональные корни по теореме о рациональных корнях: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$. Проверим $x=-2$: $2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 11(-2) + 6 = 2(-8) - 3(4) + 22 + 6 = -16 - 12 + 22 + 6 = 0$. Значит, $x=-2$ является корнем. Разделим многочлен $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ на $(x+2)$: $(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) : (x + 2) = 2x^2 - 7x + 3$.

Уравнение примет вид: $(x + 2)(2x^2 - 7x + 3) = 0$. Отсюда $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$ или $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. $x = \frac{7 \pm 5}{4}$. $x_2 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$. $x_3 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Корни числителя: $x=-2, x=3, x=\frac{1}{2}$.

2. Проверим условие $2x^3 - x^2 + 2x - 1 \neq 0$. Найдем корни знаменателя, разложив его на множители группировкой: $2x^3 - x^2 + 2x - 1 = x^2(2x - 1) + 1(2x - 1) = (x^2 + 1)(2x - 1)$. Уравнение $(x^2 + 1)(2x - 1) = 0$ имеет единственный действительный корень $x=\frac{1}{2}$ (т.к. $x^2+1>0$ для любого $x \in \mathbb{R}$). Следовательно, ОДЗ: $x \neq \frac{1}{2}$.

3. Исключим из корней числителя те, которые не входят в ОДЗ. Корень $x=\frac{1}{2}$ является посторонним. Остаются корни $x=-2$ и $x=3$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.

г)

Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} 3x^3 + 4x^2 - 5x - 2 = 0 \\ 3x^3 + 4x^2 - 5x + 2 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим уравнение числителя: $3x^3 + 4x^2 - 5x - 2 = 0$. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}$. Проверим $x=1$: $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) - 2 = 3 + 4 - 5 - 2 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен $3x^3 + 4x^2 - 5x - 2$ на $(x-1)$: $(3x^3 + 4x^2 - 5x - 2) : (x - 1) = 3x^2 + 7x + 2$.

Уравнение примет вид: $(x - 1)(3x^2 + 7x + 2) = 0$. Отсюда $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ или $3x^2 + 7x + 2 = 0$. Решим квадратное уравнение: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. $x = \frac{-7 \pm 5}{6}$. $x_2 = \frac{-7+5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$. $x_3 = \frac{-7-5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Корни числителя: $x=1, x=-\frac{1}{3}, x=-2$.

2. Проверим условие $3x^3 + 4x^2 - 5x + 2 \neq 0$. Подставим найденные корни числителя в выражение знаменателя. Если результат не будет равен нулю, то корень является решением исходного уравнения.

Для $x=1$: $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) + 2 = 3 + 4 - 5 + 2 = 4 \neq 0$. Корень подходит.

Для $x=-\frac{1}{3}$: $3(-\frac{1}{3})^3 + 4(-\frac{1}{3})^2 - 5(-\frac{1}{3}) + 2 = 3(-\frac{1}{27}) + 4(\frac{1}{9}) + \frac{5}{3} + 2 = -\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{15}{9} + \frac{18}{9} = \frac{36}{9} = 4 \neq 0$. Корень подходит.

Для $x=-2$: $3(-2)^3 + 4(-2)^2 - 5(-2) + 2 = 3(-8) + 4(4) + 10 + 2 = -24 + 16 + 10 + 2 = 4 \neq 0$. Корень подходит.

Все три корня числителя удовлетворяют условию, что знаменатель не равен нулю.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -2, x_3 = -\frac{1}{3}$.