Страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.44° а) Какое уравнение называют рациональным уравнением с неизвестным $x$?

б) Что называют корнем уравнения с неизвестным $x$?

в) Что значит решить уравнение?

г) Как решают распадающиеся уравнения?

д) Как решают уравнения вида $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$, где $A(x)$ и $B(x)$ – многочлены относительно $x$?

а) Рациональным уравнением с неизвестным $x$ называют уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ являются рациональными выражениями. Рациональное выражение — это выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены относительно $x$, причём $Q(x)$ не является тождественно равным нулю. Любое рациональное уравнение может быть приведено к виду, где в правой части стоит ноль.
Ответ:

б) Корнем (или решением) уравнения с неизвестным $x$ называют такое значение переменной $x$, при подстановке которого в уравнение оно превращается в верное числовое равенство. Это значение должно принадлежать области допустимых значений (ОДЗ) уравнения, то есть множеству значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл.
Ответ:

в) Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней. Совокупность всех корней уравнения называется его решением.
Ответ:

г) Распадающимся уравнением называют уравнение, которое можно представить в виде произведения нескольких множителей, равного нулю: $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \ldots \cdot f_n(x) = 0$. Такое уравнение решают на основе свойства: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены (имеют смысл). Таким образом, решение исходного уравнения эквивалентно решению совокупности уравнений: $f_1(x) = 0$, $f_2(x) = 0$, ..., $f_n(x) = 0$. Объединение множеств корней этих уравнений, после проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения, и составляет его решение.
Ответ:

д) Уравнение вида $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$, где $A(x)$ и $B(x)$ — многочлены относительно $x$, решают по следующему правилу: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это правило можно записать в виде равносильной системы: $$ \begin{cases} A(x) = 0, \\ B(x) \neq 0. \end{cases} $$ Таким образом, алгоритм решения следующий:
1. Найти все корни уравнения $A(x) = 0$.
2. Для каждого найденного корня проверить, не обращается ли при этом значении $x$ в ноль знаменатель $B(x)$.
3. В ответ записать только те корни числителя, которые не обращают в ноль знаменатель.
Ответ:

Решите уравнение (2.45–2.48):

2.45 а) $(x+1)(2x-3)=0;$

б) $(3x+1)(x-2)=0;$

в) $(x^2-1)(x+3)=0;$

г) $(x^2-4)(x+1)=0.$

а) $(x + 1)(2x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x + 1 = 0$ или $2x - 3 = 0$

Решим каждое уравнение отдельно:

1) $x + 1 = 0$

$x_1 = -1$

2) $2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1.5$.

б) $(3x + 1)(x - 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3x + 1 = 0$ или $x - 2 = 0$

1) $3x + 1 = 0$

$3x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{3}$

2) $x - 2 = 0$

$x_2 = 2$

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = 2$.

в) $(x^2 - 1)(x + 3) = 0$

Уравнение распадается на два:

$x^2 - 1 = 0$ или $x + 3 = 0$

1) Решим первое уравнение $x^2 - 1 = 0$.

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - 1)(x + 1) = 0$.

Отсюда получаем два корня:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

2) Решим второе уравнение $x + 3 = 0$.

$x_3 = -3$

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1, x_3 = 1$.

г) $(x^2 - 4)(x + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x^2 - 4 = 0$ или $x + 1 = 0$

1) Решим первое уравнение $x^2 - 4 = 0$.

Это также разность квадратов: $(x - 2)(x + 2) = 0$.

Отсюда получаем два корня:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

2) Решим второе уравнение $x + 1 = 0$.

$x_3 = -1$

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -1, x_3 = 2$.