Номер 2.45, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.6. Рациональные уравнения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.45, страница 68.

Решите уравнение (2.45–2.48):

2.45 а) $(x+1)(2x-3)=0;$

б) $(3x+1)(x-2)=0;$

в) $(x^2-1)(x+3)=0;$

г) $(x^2-4)(x+1)=0.$

а) $(x + 1)(2x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x + 1 = 0$ или $2x - 3 = 0$

Решим каждое уравнение отдельно:

1) $x + 1 = 0$

$x_1 = -1$

2) $2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1.5$.

б) $(3x + 1)(x - 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3x + 1 = 0$ или $x - 2 = 0$

1) $3x + 1 = 0$

$3x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{3}$

2) $x - 2 = 0$

$x_2 = 2$

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = 2$.

в) $(x^2 - 1)(x + 3) = 0$

Уравнение распадается на два:

$x^2 - 1 = 0$ или $x + 3 = 0$

1) Решим первое уравнение $x^2 - 1 = 0$.

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - 1)(x + 1) = 0$.

Отсюда получаем два корня:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

2) Решим второе уравнение $x + 3 = 0$.

$x_3 = -3$

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -1, x_3 = 1$.

г) $(x^2 - 4)(x + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x^2 - 4 = 0$ или $x + 1 = 0$

1) Решим первое уравнение $x^2 - 4 = 0$.

Это также разность квадратов: $(x - 2)(x + 2) = 0$.

Отсюда получаем два корня:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$

2) Решим второе уравнение $x + 1 = 0$.

$x_3 = -1$

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -1, x_3 = 2$.