Номер 2.38, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.4*. Теорема Безу. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.38, страница 60.

2.38 Выясните, делится ли без остатка многочлен:

а) $12x^3 - 14x^2 + 2$ на двучлен $x - 1;$

б) $x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$ на двучлен $x - 2;$

в) $x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ на двучлен $x - 2;$

г) $x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ на двучлен $x + 1.$

Для того чтобы выяснить, делится ли многочлен $P(x)$ на двучлен $x-a$ без остатка, можно использовать следствие из теоремы Безу. Оно утверждает, что многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x-a$ без остатка в том и только в том случае, если число $a$ является корнем многочлена, то есть $P(a) = 0$.

а) Проверим, делится ли многочлен $P(x) = 12x^3 - 14x^2 + 2$ на двучлен $x - 1$.

В данном случае двучлен имеет вид $x-a$, где $a=1$. Найдем значение многочлена при $x=1$:

$P(1) = 12 \cdot 1^3 - 14 \cdot 1^2 + 2 = 12 \cdot 1 - 14 \cdot 1 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0$.

Поскольку $P(1) = 0$, многочлен $12x^3 - 14x^2 + 2$ делится на $x - 1$ без остатка.

Ответ: делится.

б) Проверим, делится ли многочлен $P(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$ на двучлен $x - 2$.

Здесь $a=2$. Вычислим значение многочлена при $x=2$:

$P(2) = 2^4 - 3 \cdot 2^3 + 2^2 + 4 = 16 - 3 \cdot 8 + 4 + 4 = 16 - 24 + 8 = 0$.

Так как $P(2) = 0$, многочлен $x^4 - 3x^3 + x^2 + 4$ делится на $x - 2$ без остатка.

Ответ: делится.

в) Проверим, делится ли многочлен $P(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ на двучлен $x - 2$.

Здесь $a=2$. Найдем значение многочлена при $x=2$:

$P(2) = 2^4 - 2^3 + 2^2 - 2 - 4 = 16 - 8 + 4 - 2 - 4 = 6$.

Поскольку $P(2) = 6 \neq 0$, многочлен $x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ не делится на $x - 2$ без остатка. Остаток от деления равен 6.

Ответ: не делится.

г) Проверим, делится ли многочлен $P(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ на двучлен $x + 1$.

Двучлен $x + 1$ можно записать в виде $x - (-1)$, следовательно, $a=-1$. Вычислим значение многочлена при $x=-1$:

$P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 4 = 1 - (-1) + 1 - (-1) - 4 = 1 + 1 + 1 + 1 - 4 = 0$.

Так как $P(-1) = 0$, многочлен $x^4 - x^3 + x^2 - x - 4$ делится на $x + 1$ без остатка.

Ответ: делится.