Номер 2.34, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.4*. Теорема Безу. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.34, страница 60.

$2.34^\circ$ Сформулируйте теорему Безу.

Теорема Безу — это одно из ключевых утверждений в алгебре, которое устанавливает связь между значением многочлена в точке и остатком от деления этого многочлена на линейный двучлен.

Формулировка теоремы

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.

Доказательство

Согласно теореме о делении многочленов с остатком, для любого многочлена $P(x)$ и делителя $(x - c)$ существуют единственные многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такие, что выполняется тождество:
$P(x) = (x - c) \cdot Q(x) + R(x)$

При этом степень многочлена-остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $(x - c)$. Степень двучлена $(x - c)$ равна 1. Следовательно, степень остатка $R(x)$ должна быть равна 0, что означает, что остаток является константой (числом), не зависящей от $x$. Обозначим этот остаток просто как $R$.

Таким образом, тождество можно переписать в виде:
$P(x) = (x - c) \cdot Q(x) + R$

Это равенство верно для любого значения переменной $x$. Подставим в него значение $x = c$:
$P(c) = (c - c) \cdot Q(c) + R$
Выполним вычисления:
$P(c) = 0 \cdot Q(c) + R$
$P(c) = 0 + R$
$P(c) = R$

Мы получили, что остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на $(x - c)$ равен значению многочлена $P(x)$ в точке $x = c$. Теорема доказана.

Важное следствие из теоремы Безу (Теорема о корне многочлена)

Число $c$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - c)$ без остатка.

Доказательство следствия:
1. Прямое утверждение: Если $c$ — корень $P(x)$, то по определению $P(c) = 0$. Согласно теореме Безу, остаток $R$ при делении $P(x)$ на $(x - c)$ равен $P(c)$. Следовательно, $R = 0$, а это значит, что $P(x)$ делится на $(x - c)$ нацело.
2. Обратное утверждение: Если $P(x)$ делится на $(x - c)$ без остатка, то остаток $R = 0$. Согласно теореме Безу, $P(c) = R$. Следовательно, $P(c) = 0$, что по определению означает, что $c$ является корнем многочлена $P(x)$.

Ответ: Теорема Безу гласит, что остаток, получаемый при делении многочлена $P(x)$ на линейный двучлен $(x - c)$, равен значению этого многочлена в точке $x = c$, то есть равен $P(c)$.