Номер 2.28, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.3*. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.28, страница 57.

2.28 a) $A = x^5 - 1, B = x^3 - 1;$

б) $A = x^7 - 1, B = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.$

а)

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) многочленов $A = x^5 - 1$ и $B = x^3 - 1$ воспользуемся алгоритмом Евклида для многочленов, который заключается в последовательном делении с остатком.

Шаг 1: Разделим многочлен $A$ на многочлен $B$ с остатком.
Чтобы разделить $x^5 - 1$ на $x^3 - 1$, выполним деление, например, методом "уголком" или путем алгебраических преобразований:
$x^5 - 1 = x^5 - x^2 + x^2 - 1 = x^2(x^3 - 1) + (x^2 - 1)$.
Частное $Q_1(x) = x^2$, остаток $R_1(x) = x^2 - 1$.

Шаг 2: Теперь разделим предыдущий делитель $B(x) = x^3 - 1$ на полученный остаток $R_1(x) = x^2 - 1$.
$x^3 - 1 = x^3 - x + x - 1 = x(x^2 - 1) + (x - 1)$.
Частное $Q_2(x) = x$, остаток $R_2(x) = x - 1$.

Шаг 3: Разделим предыдущий делитель $R_1(x) = x^2 - 1$ на новый остаток $R_2(x) = x - 1$.
Используя формулу разности квадратов, имеем $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Деление выполняется без остатка: $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) + 0$.
Частное $Q_3(x) = x + 1$, остаток $R_3(x) = 0$.

Алгоритм заканчивается, когда остаток равен нулю. Последний ненулевой остаток и является НОД исходных многочленов. В нашем случае это $R_2(x) = x - 1$.

Ответ: $x - 1$.

б)

Рассмотрим многочлены $A = x^7 - 1$ и $B = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

Заметим, что многочлен $A$ можно разложить на множители по формуле разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
Применительно к $A = x^7 - 1^7$, получаем:
$A = x^7 - 1 = (x-1)(x^6 + x^5 \cdot 1 + x^4 \cdot 1^2 + x^3 \cdot 1^3 + x^2 \cdot 1^4 + x \cdot 1^5 + 1^6)$.
$A = (x-1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$.

Мы видим, что второй множитель в разложении многочлена $A$ в точности совпадает с многочленом $B$.
Таким образом, $A = (x - 1)B$.

Это равенство означает, что многочлен $A$ делится на многочлен $B$ без остатка (частное равно $x-1$).
По определению, наибольшим общим делителем двух многочленов, один из которых является делителем другого, является сам делитель.
Следовательно, НОД($A, B$) = $B$.

Ответ: $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.